Да, запятая нужна.

Подлежащее отнюдь не обязано обозначать кого-то или что-то, кто (или что) выполняет действие. Точно так же, как сказуемое не обязано обозначать именно действие. В предложении Математика — интересная наука ни подлежащее, ни сказуемое не обозначают ни действия, ни того, кто его выполняет, но ведь это не означает, что в этом предложении нет подлежащего и сказуемого. В предложениях тождества (а к ним относятся оба примера: и про учительницу, и про математику) речи о действиях вообще не идет.

Вы правы, однако, в том, что предложения с подлежащим это стоят особняком и отличаются даже от предложений типа Математика — интересная наука. Обычное свойство стандартного подлежащего — контроль согласовательной формы сказуемого. Это значит, что глагол-сказуемое или вспомогательный глагол-связка в составе сказуемого должен принять форму того же рода, что и существительное-подлежащее. Например: Наша учительница была педагог с огромным стажем. Связка была принимает форму ж. р., потому что в подлежащем — сущ. ж. р. Если речь идет, наоборот, о мужчине, увидим иную картину: Наш директор был хитрая лиса. Ни в первом, ни во втором случаях род существительного — именного компонента сказуемого не оказывает влияния на форму рода связки.

Но как только позицию подлежащего занимает местоимение это (и то), оно уступает контроль согласовательной формы сказуемого именному компоненту этого сказуемого — что и наблюдается в вашем примере. Ср. также: Ах, витязь, то была Наина! (Пушкин).

Есть еще одна особенность: при обычном подлежащем форма И. п. в сказуемом может чередоваться с формой Т. п. (Наша учительница была опытным педагогом; Наш директор был хитрой лисой), а при подлежащем это такое чередование невозможно.

Но на этом особенности предложений с подлежащим это заканчиваются. В вашем примере — предложение, суть которого заключается в отождествлении двух сущностей. Разница с примерами про директора и подобными им только в том, что обычное подлежащее называет предмет или лицо, идентифицируемое с кем-то или чем-то, а в данном случае подлежащее только указывает на него.

Можно еще добавить, что функция идентификации в предложениях тождества часто совмещается с функцией характеризации, а иногда и вытесняется ею: это особенно хорошо видно в примере про директора — хитрую лису.

И еще одно: на самом деле, когда нам нужно сообщить о приходе кого-либо, мы используем соответствующий глагол (например, пришла). Употребить в этом смысле была невозможно: нас просто неверно поймут. Глагол-связка не обозначает ни действия, ни состояния, он лишь выражает необходимые грамматические значения, которые именным частям речи недоступны.

Предложение оформлено правильно. Двоеточие не нужно, так как прямая речь является приложением при существительном фраза. Правило о том, с какой буквы должна начинаться прямая речь, если она включается в текст как член предложения, в справочниках не сформулировано, подробнее см. ответ на вопрос № 326618.

В толковых словарях русского языка при слове чтоб нет никаких ограничительных стилистических помет. Оно свободно употребляется в письменных текстах разных жанров, в том числе публицистических. Не вполне уместно оно, может быть, в текстах строго научного и официально-делового стиля.

Да, написание постриженик дается в «Грамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка, «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова. В «Орфографическом словаре русского языка» с 1974 г. слово кодифицировано в написании с нн. Такой же фиксации пока придерживается и академический орфографический словарь, размещенный на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН, хотя не исключено, что эта рекомендация может быть пересмотрена.

На самом деле специалисты признают, что есть основания для обоих орфографических решений, так что противоречие в словарных предписаниях объяснимо. «Разное написание отражает различия в понимании словообразовательных связей слова: постриженик соотносят с пострижение, постриженник — с постриженный (последнее соответствует условиям правила)», — указывают авторы «Русского правописания с комментариями» Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова.

См.: Русское правописание с комментариями. Книга 1. Употребление гласных и согласных букв в русском письме / Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова, Е. В. Арутюнова. М., 2023. С. 90.

Такого правила не существует (во всяком случае, нам оно неведомо). Можно говорить разве что о традиции, которая возникла, вероятно, по двум причинам: во-первых, практически все женские имена в русском языке заканчиваются на -а, -я, то есть это является их отличительным признаком; во-вторых же, добавление гласного к именам, в оригинале оканчивающимся на глухой согласный, удобно в целях благозвучия, легкости произнесения. При этом в современной практике употребления существует множество иностранных женских имен, которые оканчиваются на согласный: Клер, Джун, Эдит, Ирен и т. п.

К японскому имени Карин точно не стоит добавлять -а, дабы оно не совпало с именем Карина, имеющим иное происхождение.

Выражения применяемые документы и применимые документы имеют разное значение, поэтому необходим более широкий контекст. Применяемые — такие, которые на самом деле применяются; применимые — такие, которые возможно применить.

Да, правильно понимаете.

Название Тускарь, судя по данным Национального корпуса русского языка, встречается в текстах XVIII века (В. Ф. Зуев. Путешественныя записки Василья Зуева отъ С. Петербурга до Херсона въ 1781 и 1782 году), в биографических «Записках актера Щепкина», в произведениях Фета, Лескова, Гиляровского. Во всех этих текстах название реки употребляется как слово женского рода. В русском языке есть некоторое количество слов женского рода на -арь (бездарь, гарь, марь, киноварь, утварь, хмарь и др.).

Этимологически за- является приставкой. В. М. Иллич-Свитыч сближал затеять и таить и определял этимологическое значение глагола затеять как ‘задумать в тайне’.