Кутузовский и Рублевское - прилагательные (в составе собственных наименований). На - предлог.

Принятый в русском языке стандартный порядок слов: сперва определение, потом определяемое слово. Не наоборот! Изменение порядка слов возможно, если преследуется некая цель - например, упорядочить названия по общему родовому слову: шоссе такое-то, такое-то и такое-то.

См. здесь.

Вербилковский соответствует традиции (есть, например, вербилковский фарфор). Прилагательное вербилкинский неупотребительно, в топонимике это, как нам кажется, некоторая новация (поиск на "Яндексе" это подтверждает).

Воспользуйтесь электронными словарями "Грамоты.Ру"!

Название грамотное, если речь идет именно об улице, а не о шоссе.

Сочетание вдоль по нужно рассматривать как единое, оно используется в значении предлога и в этой функции отмечается в толковых словарях. 

Синтаксическая связь в словосочетании надеть пальто обозначена в наших ответах как управление неизменяемым словом, то есть всё же управление. То же самое можно сказать и о синтаксической связи в остальных приводимых Вами словосочетаниях.

Требуется форма творительного падежа: По понятным причинам это никак не могло быть современным шоссе. 

Возможны оба варианта.