Слово какой связано с выражением того или иного рода сравнительных отношений, например: Я представлял себе театр именно таким, каким я его видел. Такой любви и ненависти люди не выносят, какую я в себе ношу. Однако слово какой может употребляться наряду с который, если сравнение отсутствует: Около тех деревьев, которые видны вдалеке, и начинается деревня. Иногда слова какой и который равнозначны, например: Держался он с такой изящной, неуловимо небрежной простотой, которая (какая) свойственна только людям большого света. В этом случае сравнительное (в широком смысле) значение не утрачивается. Подробнее читайте в «Русской грамматике».

Следует ориентироваться на рекомендации академического орфографического словаря. Нужно заметить, что написание тираннозавр — это не какая-то сугубо новая норма. См., например: Среди гигантских рептилий мезозоя были наиболее крупные хищники, которых когда-либо видел мир, вроде тираннозавров [Г. Ф. Гаузе. Экология и некоторые проблемы происхождения видов (1934)]; Диплодока метров в 30 я помню еще с прошлого раза, но два скелета здоровенных, метра в 4 высотой, если не больше, хищных ящеров вроде тираннозавра [Н. Н. Козаков. Дневник (1962)]. Иначе говоря, до определенного времени написание было вариативным, поскольку отсутствовала фиксация слова в нормативных словарях.

Да, здесь придаточное зависит от причастия, но совершенно ни к чему думать, что оно входит в состав причастного оборота, и лишать его собственной структуры. Внутри придаточного выделяем главный член посмотреть, дополнение что самого необычного и мистического (субстантивированные прилагательные здесь образуют с местоимением один член предложения).

Причастного оборота, формально говоря, здесь и нет, так как вместо зависимых слов у причастия имеется целое придаточное. Конечно, на самом деле это придаточное и распространяет причастие (то есть играет ту же роль, что и обычные зависимые слова), и можно подчеркнуть их вместе как одно распространенное определение, но это не отменяет выделения членов придаточного предложения.

Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.

Сочетание звуков [иэ] на месте букв ие произносится не только в слове коэффициент (и в других словах на -ент, например пациент, ингредиент и др.), но и в словах диез (литературная норма именно д[иэ]з), спаниель, а также (по старшей литературной норме) в словах абитуриент, диета, сиеста.  Если мы откроем «Орфоэпический словарь русского языка» под ред. Р. И. Аванесова (М., 2000 и более ранние издания), мы увидим там рекомендацию произносить абитур[иэ]нт, д[иэ]та, с[иэ]ста. Поэтому написание риелтор при произношении р[иэ]лтор не является каким-то единичным случаем, плохо понятным исключением или прихотью лингвистов; оно соответствует принципам русской орфографии (писать е после букв е и и, даже если произносится э).

Допустимы оба варианта: Я всегда хожу накрашенная и Я всегда хожу накрашенной. 
См. ходить в «Большом универсальном словаре русского языка»:

13.0. Находиться, пребывать в каком-л. состоянии, положении и т. п. Син. бегать.

Ходить в каком-л. виде (в каком-л. состоянии, в каком-л. настроении …). Кто-л. ходит раздетым / раздетый (голым / голый, босым / босой, голодным / голодный, весёлым / весёлый, грустным / грустный, пьяным / пьяный, довольным / довольный, подавленным / подавленный, беременной / беременная, убитый горем …)

В предложениях Я хожу ненакрашенная и Я хожу ненакрашенной Вы верно написали не с причастием. Если в предложении нет противопоставления (Пришла не накрашенная, а умытая) и у причастия нет зависимых слов (Из-за не накрашенной до конца актрисы съёмки отложили), не с причастием пишется слитно.

В § 125 п. 2 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина отмечается: пишутся слитно названия с первыми частями Старо-, Верхне-, Нижне-, Средне-, Ближне-, Дальне-, а также Бело-, Красно-, Черно- и т. п., напр.: Старобельск, Верхнетуринск, Нижнеангарск, Дальнереченск, Белоостров (поселок), Красноуральск, Черноисточинск.

Конечно, может быть традиция, связанная с конкретными названиями, но «при выявлении несоответствия написания конкретного объекта общему правилу в целях сохранения системности нашего письма, единства норм для всех областей русскоязычного мира следует приводить это написание в соответствие с правилами. И только написания названий общезначимых, широко известных объектов, входящих в общий русскоязычный культурный фонд (например, Чёрная речка в Санкт-Петербурге), следует сохранять в их исторически устоявшемся виде».