Словари
насмердеть, -дит
Ответы справочной службы
Наречие насмерть и правда пишется слитно, например: сражен пулей насмерть, стоять насмерть, перепугаться насмерть. Но в выражении не на жизнь, а на смерть правильно раздельное написание (как сочетание предлога с существительным), что закреплено, например, в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (4-е изд. М., 2012). Так что Ваша дочь написала правильно.
Формально - да. А для чего нужен ответ?
Справочники
ПО СЧАСТЬЮ, вводное слово Вводное слово «по счастью», а также вводные сочетания «по счастью (для кого-либо), выражающие удовлетворение, радость по поводу чего-либо, обособляются. Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. По счастью, такая семья только и существует в преданиях да в славянских мечтах. А. Герцен, Сорока-воровка. Дуэль, по счастью, окончилась благополучно. А. Куприн, Поединок. Но Блок, слава богу, иная, // Иная, по счастью, статья. // Он ...
...По счастью...
...ПО СЧАСТЬЮ, вводное слово Вводное слово «по...
§ 83. Пишутся слитно: 1. Наречия, образованные соединением предлогов с наречиями, например: доныне, извне, навсегда, напротив, насквозь, позавчера, послезавтра, донельзя, навряд ли, задаром. От таких наречий следует отличать пишущиеся раздельно сочетания предлогов с неизменяемыми словами, употребляемыми в этих случаях в значении существительных, например: до завтра, на авось, на нет (свести на нет), на ура. 2. Наречия, образованные соединением предлогов
...V. Наречия...
...§ 83. Пишутся слитно: 1. Наречия, образованные...
