Это слова имеют разные значения, они не синонимичны.

ПРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. кого-что. Разг. Заранее предназначать, предположительно определять. Ей прочат блестящее будущее. Брата с детства прочили в военные. На его место прочат новенького. Её прочат замуж за метрдотеля. Прочиться, -чится; страд.

ПРОРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. (св. напророчить). что. Предсказывать, предвещать. Тебе пророчат большое будущее. Говорят, звёздный дождь пророчит счастье.

Этимология у них также различна. Пророчить образовано от пророк (это калька с греческого προφήτης «прорицатель», буквально «говорящий будущее»), а прочить — исконно славянское, сууффиксальное производное от прок «остаток». 

Это выражение устойчивым не является. Вероятно, это искаженный фразеологизм: ВАРИТЬСЯ В СОБСТВЕННОМ СОКУ. Разг. Жить и работать вне связи с общественной жизнью, изолированно от неё.

Вам следует поискать ответ на свой вопрос в многочисленных словарях русских фамилий. 

В текстах официально-делового стиля принято сначала указывать родовое понятие (улица, проспект, переулок и т. п.), а затем видовое (собственно наименование): ул. Ставропольская. Однако грамматическим нормам русского языка соответствует иной порядок элементов: если наименование выражено прилагательным, то оно пишется после родового понятия (Садовая улица, Фельдмаршальский проспект, Горлов переулок и т. п.), а если существительным в родительном падеже — то после (улица Москвиной, плащадь Пролетарской Диктатуры). Нарушение этого естественного порядка, кстати, может приводить к непониманию этимологии наименования. Например, в Петербурге есть Зеленина улица (где Зеленина — от зелейная, так как улица шла к пороховому заводу), но улица Зайцева (так как названа в честь участника Великой Отечественной войны генерал-майора П. А. Зайцева).

Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).

Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.

Согласно «Морфемно-орфографическому словарю русского языка» А. Н. Тихонова, слова поле и поляна однокоренными не являются, хотя этимологически эти слова, безусловно, родственные. Так что, если строго следовать букве закона (в данном случае орфографического закона — «Правил русской орфографии и пунктуации», в которых сказано именно про однокоренные слова), учительница права: поле не может служить проверочным словом к слову поляна. Мы не беремся оценивать корректность действий учительницы, но, на наш взгляд, целесообразен более мягкий подход к рассматриваемому вопросу, поскольку русский язык — это все же не сухой набор правил правописания (к сожалению, после школы у многих складывается именно такое впечатление). Вовсе не плохо, если понимание этимологии слова способствует запоминанию его правильного написания.

Запрета на такое использование квадратных скобок нет. Квадратные скобки используются в специальных текстах, например:
1) для обозначения фонетической транскрипции;
2) для объяснения этимологии слова;
3) при цитировании: для расшифровки сокращений или внесения в текст мелких примечаний, например: Он [Платон Каратаев] сам не знал и не мог определить, сколько ему лет (Л. Толстой);
4) для указания на источник цитирования, например: Типографское назначение пунктуации состоит в «расчленении целого текста на части с тем, чтобы представить текст не как аморфную массу символов, а в виде единиц, быстро и четко различаемых глазом» [Веденина Л. Г., 1975, 156] (Н. Шубина);
5) для того, чтобы избежать употребления двойных скобок одного рисунка, например: добавка «Кола» [краситель «Карамель» (Е150)].

В Калининградской области есть поселок Ливны. Возможно, именно с этим топонимом связана история названия Вашего поселка. Справочная служба не располагает возможностью проводить топонимические изыскания. 

Слово республика действительно восходит к латинскому языку (от rēs рūbliса, букв. «общественное дело»). Таким образом, буква «с» в этом слове – из латыни, она не была добавлена в русском языке. А вот в западноевропейских языках она и правда пропала: англ. translation>republic, нем. translation>Republik, фр. translation>république, исп. translation>república, итальянцы же «компенсировали» утраченную «с» второй буквой b: translation>repubblica.

По-видимому, «с» утратилась в Средние века в результате фонетических изменений в романских языках. По крайней мере, англичане уже заимствовали это слово из французского языка без буквы «с». Вот цитата из вебстеровского словаря английского языка о происхождении английского слова republic: «French république, from Middle French republique, from Latin respublica».