В предложении Брат принял решение уехать составное глагольное сказуемое. В нем уехать — смысловой инфинитив, принял решение (= решил) — модальная связка, выраженная аналитическим глаголом (= синтаксически цельным словосочетанием). Всё дело именно в том, что принял решение = решил, а решил здесь означает ‘вознамерился’, но не ‘нашел решение задачи’. Вот в предложении Я решил задачу, и учитель принял мое решение совсем другие значения и глагола, и отглагольного существительного.

В предложении Сережа попросил разрешения петь простое глагольное сказуемое попросил. Петь здесь зависит от разрешения (а не от попросил) и является либо несогласованным определением (разрешения какого?), либо дополнением (разрешения на что?). Предпочтительнее второе, т. к. разрешение — отглагольное имя действия, которое сохраняет способность глагола управлять зависимым существительным, меняется только модель управления: разрешить что? / разрешение на что?

Тот факт, что принял решение является устойчивым словосочетанием, на роль инфинитива, как видим, прямого влияния не оказывает.

Добавлю, что дополнение, выраженное инфинитивом, стоит вне оппозиции прямых и косвенных дополнений и не характеризуется по этому признаку, потому что у инфинитива нет падежа.

Вы правы в том, что исходно это слово, конечно, является причастием. Но причастия, как мы знаем, могут переходить в прилагательные. При этом в их значении утрачивается связь с идеей процесса, а вместе с нею и способность управлять агентивным дополнением и другими распространителями, которые актуализируют идею процесса. Когда мы восклицаем Какие воспитанные дети!, нам не приходит в голову распространить воспитанные агентивным дополнением, это звучало бы странно: *Какие воспитанные няней дети! Зато причастие, перешедшее в прилагательное, приобретает способность присоединять обстоятельство степени: Это очень воспитанные дети. Как известно, это признак качественных прилагательных, причастие к этому неспособно.

Вывод: нужно смотреть не на абстрактные примеры, а на конкретное предложение. Если в нем при слове воспитанный возможна вставка агентивного дополнения или других компонентов, актуализирующих идею процесса (например: Воспитанный в суровой, даже спартанской обстановке, наш герой не боится трудностей), то перед нами причастие. Вставка обстоятельства степени типа очень, весьма и т. п. при этом невозможна. И наоборот: если такое обстоятельство возможно, то невозможно агентивное дополнение, указание на условия процесса воспитания и т. п. Тогда перед нами прилагательное.

Обозначить тот факт, что перед нами название, нужно. При этом кавычки не кажутся идеальным способом такого обозначения, ведь они нагружены многими другими смыслами (в их числе указание на ироничное употребление слова и т. д.). Представляется, что лучше использовать прописную букву: С помощью Вдохновения можно уменьшить время перезарядки скиллов.

Страдательные причастия настоящего времени образуются от переходных глаголов несовершенного вида. Глагол смотреть в части своих значений переходный, и от него страдательное причастие настоящего времени теоретически могло бы быть образовано. Однако страдательные причастия (как настоящего, так и прошедшего времени) образуются избирательно даже от тех глаголов, которые имеют необходимые морфологические признаки. Например, не образуются страдательные причастия настоящего времени от таких переходных глаголов несовершенного вида, как благодарить, брить, гнуть, держать, иметь, класть, кормить, красить, красть, лечить, мазать, мерить, пахать, писать, править, резать, рубить, ставить, сушить, тереть, топить, чесать, чистить. Этот список можно продолжать, и глагол смотреть в него входит.

Глагол пролетать в основном употребляется как непереходный, в этом случае страдательное причастие невозможно. Когда глагол используется как переходный, страдательное причастие настоящего времени от него встречается, хотя и очень редко, ср. пример из Национального корпуса русского языка: ...имеющая высокую разрешающую способность картографирования пролетаемой местности...

Слово спасибо квалифицируется как этикетное междометие (это наиболее убедительная интерпретация). Междометие не является ни знаменательным, ни даже служебным словом — следовательно, не может быть членом предложения и не может присоединять придаточное предложение.

Однако «чистым» междометием оно является только в изолированном употреблении. Между тем спасибо очень часто употребляется в составе предложений с явно выраженными членами, например: Спасибо вам большое! В таком предложении второстепенные члены очевидным образом подчинены слову спасибо: спасибо (кому?) вам; спасибо (какое?) большое. Это может быть объяснено только тем, что междометие функционирует как существительное: способность присоединять определение свойственна существительному, способность управлять дополнением также присуща отглагольным существительным. Другими словами, в таких случаях междометие превращается в эквивалент существительного (например, такого, как благодарность).

Аналогичная картина и в вашем примере: спасибо, которому подчинено изъяснительное придаточное, эквивалентно глаголу (Благодарю, что помог мне). Но сказуемым, строго говоря, его называть не стоит. Лучше говорить об эквиваленте сказуемого, еще лучше — об эквиваленте главного члена односоставного предложения. Дальнейшей характеристике такое односоставное предложение не подлежит.

Ни в школьном, ни в университетском курсе русского языка подобные предложения не изучаются (исключением могут быть только университетские спецкурсы). В науке они почти не описаны.