Вожжа под хвост попала – о том, кто находится в неуравновешенном состоянии, проявляет взбалмошность, непонятное упорство. Вожжи – ремни для управления запряженной лошадью. У лошади под  хвостом часть крупа не покрыта шерстью. Если туда попадает вожжа, лошадь, боясь щекотки, может понести, разбить повозку и т. д. С таким поведением лошади и сравнивается человек.

...Вожжа под хвост попала – о том, кто находится...

...Вожжа под хвост попала...

На мази – дело близко к благополучному осуществлению, к удачному завершению. Первоначально выражение применялось к повозкам и вообще к таким орудиям или средствам передвижения, которые смазывались перед поездкой. На мази означало в переносном смысле 'скоро уедет, уже налажено к отправлению и к ходу, готово к движению, к поездке'. Ср. немецкое fertig 'готов', восходящее к глаголу fahren 'ехать'.

...На мази – дело близко к благополучному осуществлению...

...На мази...

§ 164. Тире ставится между подлежащим и сказуемым, выраженным существительным в именительном падеже (без связки). Это правило чаще всего применяется, когда сказуемым определяется понятие, выраженное подлежащим, например: Дуб – дерево. Оптика – раздел физики. Москва, Ленинград, Киев, Баку – крупнейшие города СССР. Старший брат – мой учитель. Старший брат мой – учитель. Примечание 1. Если перед сказуемым, выраженным существительным ...

...§ 164. Тире ставится между подлежащим и сказуемым...

...Тире...