Правильно: подвизаться.
"Подвизаться" сопоставимо с "подвигом".
Переходные глаголы сочетаются с последующими существительными в винительном падеже без предлогов: читать книгу, любить родителей.
Точка после кавычек не нужна.
Предлагаемая замена звучит, конечно, не идеально, но она вполне допустима, особенно если изменить порядок слов: ставший тотчас подвигаться навстречу. Именно так, как Вы предлагаете, замена и осуществляется: глагол в спрягаемой форме заменяется причастием, инфинитив остается неизменным.
Верно с предлогом НА.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
См. в наших словарях.
"Франт идет по бульвару в галошах в театр".
По основному правилу тире не требуется.