Ваш корректор прав, именно так и надо писать эти слова: хип-хоп-вечеринка, хип-хоп-музыка. См. фиксацию подобных слов в Искать на Грамоте.

Это зимний бассейн для плавания. Это — подлежащее, бассейн — составное именное сказуемое (связка нулевая). Зимний — согласованное определение, для плавания — несогласованное.
Слева находится футбольное поле с беговой дорожкой. Строго говоря, это односоставное номинативное предложение с полузнаменательной связкой вместо формальной, но в школе оно будет двусоставным, сказуемое — находится. Подлежащее — поле. Остальное — определения (кроме слева, конечно). Футбольное не входит в состав единой номинации, потому что в том же значении слово поле употребляется для обозначения и других спортивных площадок.
Неподалеку устроены площадки для баскетбола и волейбола, есть два расположенных рядом теннисных корта. Для баскетбола и волейбола, теннисных — определения.
Для занятий легкой атлетикой отведена территория справа. Легкой атлетикой — один член предложения (это термин), косвенное дополнение. Справа — примыкающее (несогласованное) определение. Грамматические основы очевидны.
С утра до вечера в спортивном городке много ребят разного возраста. Это номинативное (назывное) предложение, главный член — много ребят (количественно-именное словосочетание всегда является одним членом предложения). Спортивном и разного возраста — определения (второе несогласованное, выраженное нечленимым словосочетанием).
Их мечта серьезно заниматься спортом наконец стала реальностью. Мечта стала реальностью — грамм. центр. Серьезно заниматься спортом — примыкающее (несогласованное) распространенное определение.

По правилам наречие «препятствует» постановке тире. В справочнике под ред. В. В. Лопатина указывается, что не ставится тире, если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит обстоятельство. Наречия в предложении часто являются именно обстоятельствами.

Чтобы ответить на Ваш второй вопрос нужно проводить исследование — нужно понять, какие именно обстоятельства и дополнения встречаются в предложениях данной структуры, в каких случаях тире оправданно, в каких нет. Это требует времени. Пока мы можем ориентироваться только на примеры из справочников: Мой отец для меня друг и наставник; Степан нам сосед.

В словарном толковании союза в том числе не указано, что его использование ограничивается исчисляемыми понятиями, сравним также примеры в «Справочнике по пунктуации». Другое дело, что это сочетание в текстах действительно употребляется гораздо шире, чем «дозволяют» словари и справочники. Довольно часто — согласны с Вами — сочетание в том числе (всегда ли оно выполняет функцию союза?) выглядит стилистически неудачным и требует замены на в числе прочего, включая, в частности и т. п. См. также ответы на вопросы 308092, 311098, 313488.

По правилам русского языка, слова в словосочетаниях и предложениях связаны друг с другом, причем в большинстве случаев за счет того, что они меняют свою форму (число, род, падеж и т. д.).

Верно: Ивановой Марине Петровне — исполняющей обязанности начальника (здесь речь идет о согласованном приложении исполняющей обязанности начальника, которое меняет форму в соответствии с формой главного слова).

Верно: и. о. начальника отдела (в этом словосочетании главное слово обязанности требует от зависимого слова начальник формы родительного падежа: исполняющий обязанности — кого? — начальника отдела).

Слово достаточно в функции сказуемого требует зависимого существительного в родительном падеже: ...наличия веры и авторитета достаточно... Для расчленения составного подчинительного союза для того чтобы нет оснований (см. «Справочник по пунктуации»), но оно возможно, если автор намерен логически акцентировать слово для того. Таким образом, возможны варианты в зависимости от авторского замысла: Они считают, что наличия веры и авторитета достаточно, для того чтобы служить замыслу Создателя; Они считают, что наличия веры и авторитета достаточно для того, чтобы служить замыслу Создателя.

Необходимо уточнить, в каком значении здесь употреблено слово дополнительно. Если это наречие, зависящее от глагола указывать, его нужно переместить к этому глаголу, изменив порядок слов: При подготовке актов экспертизы в дальнейшем рекомендуется дополнительно указывать наименования продукции... Если слово дополнительно употреблено в значении дополнительно сообщаем, его нужно заменить этим выражением и сформулировать сложноподчиненное предложение: Дополнительно сообщаем, что при подготовке актов экспертизы в дальнейшем рекомендуется указывать наименования продукции... В любом случае обстоятельство при подготовке актов экспертизы (в дальнейшем) не требует обособления.

Да, это калька английского it depends, получившая распространение в русском языке с начала 1990-х годов. Аналогичное выражение широко распространено и во французском языке — ça dépend. В русском языке глагол зависеть требует обязательного распространения (зависеть от кого-чего), поэтому предпочтительно избегать этого выражения. В зависимости от ситуации общения, стиля речи, а также от того, о прошлом или будущем говорится в высказывании, в русском языке для выражения соответствующего значения используются сочетания когда как, по-разному, зависит от обстоятельств и т. п.