Можно предположить, что сочетание на Рождестве возникло по аналогии с на празднике. Во многих контекстах с сочетанием на Рождестве речь идет именно о праздновании, событии, например: 

Толя несколько лет был участником семинара и, пока жизнь нас окончательно не развела, непременным гостем на Рождестве (Р. М. Фрумкина);

Потом они были у нас на Рождестве. Тогда же зашел и Отто... (Ю. А. Кривулина).

Однако, судя по примерам Национального корпуса русского языка, распределения по значению сочетаний на Рождестве и на Рождество все же не произошло.

Заглавная и прописная буква – это одно и то же. Это большая буква. Маленькая буква – строчная.

Правила таковы: имена прилагательные, обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы, если они образованы от собственных имён при помощи суффикса -ов (-ев) или -ин: Алькин голос, Стёпкино любопытство, Женькины глаза (в составе фразеологических оборотов такие прилагательные пишутся со строчной буквы: ахиллесова пята, сидорова коза). Если же соответствующие прилагательные имеют в своём составе суффикс -ск-, они пишутся со строчной буквы: пушкинские стихи, петровские преобразования, булгаковский стиль.

Мафиозо  и мафиози – это не формы единственного и множественного числа одного слова (как окно – окна), а два разных слова (или, если угодно, орфографические варианты). Оба они несклоняемые, т. е. во всех формах единственного и множественного числа у них употребляется одна и та же форма – соответственно  мафиозо  и мафиози. Так можно говорить и об одном члене мафии, и о нескольких: пойман известный мафиози (мафиозо)  и пойманы известные мафиози (мафиозо). Заметим, что мафиозо не всеми словарями признается допустимым, поэтому предпочтительно все же употреблять вариант мафиози.

С точки зрения системы современного русского языка слова «пчела» и «бык» не однокоренные. Однако исторически они восходят к одному корню и образованы от глагола  «бучать» – жужжать, мычать (по этимологическому словарю М. Фасмера). Согласно этимологическому словарю Н.М. Шанского, бык – «производное от звукоподражания той же основы, но с перегласовкой (бы – бу – бъ), что в букашка, пчела». Пчела, по тем же источникам, образована от старославянского «бъчела», восходящего к основе «бучать».

На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых». 

О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.

См. также ответ на вопрос № 319215.

Для выделения морфем в слове нужно последовательно выполнить формо- и словообразовательный анализ. У вас возникли трудности на словообразовательном этапе, поэтому сначала мы уточним, что́ стоит за процедурой анализа состава слова, которое образовано с помощью словообразовательных морфем (морфологическим способом). Необходимо установить:

1) к каким частям речи относятся производящее и производное слово;

2) выделить в производном и производящем слове основы, сравнить их, а затем выделить в производной основе словообразовательную морфему или морфемы, которые отличают производную основу от производящей;

3) определить словообразовательное значение (обобщенное значение ряда производных слов с другими корнями, образованных таким же способом, то есть с помощью той же морфемы или морфем).

Если производящая основа сама является производной, второй этап может повторяться несколько раз. Например, в слове остановка, которое вы анализировали, производящая основа останов- является производной: в ней выделяется приставка о-. Следует отметить, что с выделением этой приставки все не так просто: существует точка зрения, что ее не надо выделять, поскольку мы не можем подобрать слово без этой приставки, которое было бы производящим для глагола остановить. Однако большинство исследователей выделяют приставку, так как считают корень связанным (связанные корни — это корни, которые не употребляются без словообразовательных морфем, в данном случае — приставок); этот корень также выделяется в глаголах установить, восстановить. Словообразовательное значение, которое создается за счет приставок, тоже вполне очевидно: это приставки со значением совершенного вида, которые показывают, что в приставочном производном глаголе действие доведено до результата (см. примеры для этих словообразовательных моделей в «Русской грамматике» (1980, § 1395): слепить ← ослепить, регулировать ← урегулировать, препятствовать ← воспрепятствовать и др.).

Итак, мы понимаем, на каком основании можно выделить приставку о-. А вот оснований для выделения каких-либо суффиксов в производящей основе нет, потому что мы не можем определить словообразовательное значение элемента -ов и не можем подобрать слова с другими корнями, включающими этот элемент с каким-либо очевидным словообразовательным значением.

Давайте для сравнения рассмотрим причины, которые нам позволяют выделить суффикс -к- в производном слове остановка.

Суффикс -к- — это суффикс, с помощью которого образуются существительные от других существительных, глаголов, прилагательных, а в некоторых случаях и от других частей речи.

Например: грузинка ← грузин; горка ← гора; картонка ← картон; одиночка ← одинокий; караулка ← караульная; сотка ← сто и др. В каждом из примеров своя словообразовательная модель, так как производящие слова относятся к разным частям речи, а суффикс -к- в каждом случае имеет свое словообразовательное значение (грузинка — значение 'женскости', горка — уменьшительное значение и т. д.). Это не один суффикс -к-, а разные суффиксы-омонимы. Мы не можем выделить суффикс -к- в слове остановка потому, что он выделяется, например, в словах грузинка или горка, так как, во-первых, оно образовано от другой части речи, а во-вторых, при образовании слова остановка суффикс -к- приносит в производное слово совсем другое значение. При образовании существительных от глаголов при помощи суффикса -к- образуются существительные со значением производящего глагола (значение действия, состояния), которое совмещается со значением существительного как части речи (значение предметности). Такое же значение имеет суффикс -к- в словах с другими корнями, образованными по этой словообразовательной модели: плавка ← плавить; стрижка ← стричь; чистка ← чистить и т. п. При этом во всех случаях происходит усечение производящей глагольной основы — исчезает суффикс -и-.

Усечение глагольной основы — регулярное явление при образовании отглагольных существительных, но возможны и более сложные процессы: в словообразовательных парах подстановка ← подставить; перестановка ← переставить; расстановка ← расставить и т. п. происходит, по терминологии «Русской грамматики» (1980, § 262), «мена конечных отрезков корня |в'- нов|». Иначе говоря, корень -став- в производящих глаголах и корень -станов- в производных существительных являются вариантами (алломорфами) одного корня.

Этот же корень (-станов-) выделяется в производящем глаголе остановить и в производном от него слове остановка.

Корень также обнаруживается в глаголе становить — просторечном синониме глагола ставить (подробнее об этом глаголе см. словарную статью глагола ставить в издании В. Н. Вакуров, Л. И. Рахманова, И. В. Толстой, Н. И. Формановская «Трудности русского языка: словарь-справочник»). Кроме того, этимологические словари указывают, что глагол восстановить был образован от глагола становить (ранее нормативный), а следовательно, глаголы остановить и установить, не зафиксированные этимологическими словарями, образовались таким же способом.

Поэтому в слове остановка выделяется корень -станов-: о-станов-к-а.

Выбор винительного и родительного падежа при глаголе с отрицанием – это довольно сложная область русской грамматики. «Единая старая норма обязательного родительного падежа при глаголах с отрицанием в современном языке под влиянием разговорной речи не выдерживается: во многих случаях употребление винительного падежа не только предпочитается, но и является единственно правильным» – так написано в академической «Русской грамматике» 1980 года. За прошедшие с того времени 40 лет эта тенденция только укрепилась и усилилась.

Есть ситуации, в которых может употребляться или только родительный, или только винительный падеж. Однако часто можно говорить лишь о предпочтительности одной из форм или о равных возможностях для их употребления. Во многих случаях несколько факторов, влияющих на выбор формы, действуют разнонаправленно. Эти факторы описаны в научной и справочной литературе («Русская грамматика» 1980 г., «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской, «Практическая стилистика современного русского языка» Ю. А. Бельчикова и др.). Обобщение рекомендаций сделано в «Письмовнике».

В сочетании не ранить чувства других нет признаков, которые указывали бы на обязательность родительного падежа. Винительный падеж подчеркивает конкретность объекта, на который направлено действие. Ю. А. Бельчиков показывает эту особенность на таких примерах: Не делай ошибок и Поупражняйся в написании глагольных форм и больше не делай ошибки. В первом предложении речь идет об ошибках вообще, а во втором – о конкретных орфографических ошибках. В современной нехудожественной литературе сочетание не ранить чувства кого-то (о многих) довольно частотно. Встречается и синонимичное сочетание: не оскорбить чувства других (В. Пелевин), не оскорбить чувства христиан (журн. «Знание – сила»). Возникающая омонимия форм род. падежа ед. числа (такое употребление немного архаично) и вин. падежа множ. числа обычно снимается контекстом.

Мы обсудили Ваш пример с коллегами из отдела культуры русской речи Института русского языка РАН. Е. М. Лазуткина, ведущий научный сотрудник, считает, что в Вашем случае винительный падеж предпочтителен. Другие коллеги склонны принять оба варианта как допустимые. Однако все согласны в том, что сочетание не ранить чувства других не следует считать ошибкой в экзаменационном сочинении.

«Справочник по пунктуации», размещенный на нашем портале, составлен на основе тщательного изучения большого корпуса научной и словарно-справочной литературы, а также исследования примеров из классической и современной художественной литературы. Это исследование позволило пересмотреть некоторые рекомендации относительно пунктуационного оформления тех или иных слов и сочетаний. Авторы справочника сталкивались с такими ситуациями, когда слова, обычно описываемые как вводные, на практике почти никогда не обособлялись, и наоборот.

Не видим разницы между приведенными Вами примерами и примером из справочника Д. Э. Розенталя «Пунктуация» Вспомните, «как хороши, как свежи были розы». Запятые перед открывающими кавычками в приведенных Вами примерах нужны на основании именно этого правила.