Запятая поставлена правильно.

В судьбе слова кофе ничего не менялось ни 1 сентября 2016-го, ни 1 сентября 2009-го, ни 1 сентября любого другого года. Все новости об этом, которые Вы могли видеть, — результат непрофессиональной работы журналистов. На самом деле ситуация такая. Слово кофе существует в русском языке с середины XVII в., и уже тогда было возможно согласование по среднему роду. В XVIII, XIX и начале XX в. мужской и средний род конкурировали, не имея стилистических различий. Только ближе к 40-м годам XX в. установилось, что мужской род — эталон, а средний род — допустимое разговорное употребление. В «Толковом словаре русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (Т. 1. М., 1935): кофе, нескл., м. и (разг.) ср. Эта нормативная оценка сохраняется вот уже почти сто лет.

См. подробнее: 

Кузнецова И. Е. Я мол кагве не буду пить, у нас мол на Руси нѣт этаго питья (о роде слова кофе в истории русского языка). Русская речь. 2020. № 4. С. 54—64.

Гурьянова С. А. В начале было кофе. Лингвомифы, речевые «ошибки» и другие поводы поломать копья в спорах о русском языке. М., 2023. 

Как отмечает ведущий научный сотрудник Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН О. Е. Иванова в готовящейся публикации о графических сокращениях, «для сокращения собственных иноязычных имен не существует сформулированных общепринятых правил, есть лишь издательская практика, которая может отличаться в разных редакциях, и практика делопроизводства». Исходя из примеров, которые приводит ученый, можно порекомендовать такое сокращение: Мирзоев Р. Ш.-Э.

Правильно: ранее неизвестный, пока неизвестный, еще неизвестный, но: никому не известный. Противоречия в ответах нет: наличие пояснительных слов, как правило, не влияет на слитное написание не с прилагательным. Исключение составляют только несколько случаев, один из таких случаев – наличие в качестве пояснительных слов отрицательных местоимений и наречий, начинающихся с ни. Их появление приводит к замене слитного написания на раздельное.

Прилагательное, образованное от нарицательного существительного егерь, пишется без мягкого знака: егерский. Что же касается гидронима (названия водоема), то мягкий знак в нем мог появиться в силу того, что собственные имена подвержены подобного рода графическим и орфографическим изменениям. Наконец, нельзя исключать банальную ошибку.

Словарь "Имена московских улиц" приводит в качестве правильного именно вариант без мягкого знака: Егерский пруд (в Сокольниках).

По правилам наречие «препятствует» постановке тире. В справочнике под ред. В. В. Лопатина указывается, что не ставится тире, если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит обстоятельство. Наречия в предложении часто являются именно обстоятельствами.

Чтобы ответить на Ваш второй вопрос нужно проводить исследование — нужно понять, какие именно обстоятельства и дополнения встречаются в предложениях данной структуры, в каких случаях тире оправданно, в каких нет. Это требует времени. Пока мы можем ориентироваться только на примеры из справочников: Мой отец для меня друг и наставник; Степан нам сосед.

Учитель прав. Здравствуй(те) и извини(те) могут быть междометиями (см. ресурс «Проверка слова») и формами повелительного наклонения глаголов здравствовать и извинить (здравствуйте долгие годы, извините меня).

Строго говоря, при такой формулировке задания, которую приводите Вы, выписывать эти слова было не нужно, т. к. в словаре слова даются в своей начальной форме (для глаголов это форма инфинитива: здравствовать и извинить). Раз в словаре даны формы здравствуй и извините, следовательно это междометия. Но знание таких тонкостей вряд ли можно требовать от учеников 4-го класса.  

В документах, ссылки на которые Вы приводите, слова народный артист и заслуженный артист употреблены в сочетании с родовым словом почетное звание. Необходимость написания рассматриваемых сочетаний с прописной буквы в кавычках в подобных случаях не вызывает сомнений: почетное звание «Народный артист Российской Федерации», почетное звание «Заслуженный артист Российской Федерации». Однако при употреблении без родового слова верно написание со строчной без кавычек: народный артист России, заслуженный артист России. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007.