Следует отличать слово нужно как слово категории состояния, то есть выступающее в качестве сказуемого в односоставном безличном предложении, от кратких форм прилагательного нужный (нужен, нужна, нужно, нужны). В первом случае слово нужно ведет себя так же, как слово надо. Эти слова сочетаются обычно с глаголами, но сочетаемость с существительными для них тоже возможна (Мне надо денег; Мне нужно денег). Во втором случае формы слова нужный, подобно другим кратким прилагательным, выступают как части именного сказуемого в двусоставном предложении и, естественно, чаще всего соседствуют с существительными-подлежащими: Мне нужна твоя одежда; Мне нужны твои ботинки; Мне нужен твой мотоцикл; Мне нужно твое согласие.

Современной нормой допускается употребление деепричастного оборота в безличном предложении, если оно содержит инфинитив, ср.: «Деепричастие может относиться также к не подлежащно-сказуемостным предложениям, включающим в свой состав инфинитив; обязательным условием такого употребления является совпадение субъекта действий (или состояний), названных деепричастием и инфинитивом» (Русская грамматика. М., 1980. Т. 2. § 2106). Не отвечает литературной норме употребление деепричастий в безличных предложениях, в состав которых не входит инфинитив: *Выполняя это поручение, ему не хватило опыта.

Рекомендуется придерживаться простого правила: по возможности использовать в качестве однородных сказуемых глаголы одного вида. В вашем примере: спрошу (сов.), пойду.

Инфинитив, обозначающий действие как цель движения (зачем пойду? — покупать), может быть совершенного вида в том случае, если подразумевается однократное мгновенное действие, в осуществимости которого не может быть сомнений (выйду взглянуть на облака). Если же действие не мгновенное и в особенности если у говорящего нет уверенности в том, что ему удастся осуществить это действие (нужного замка может не оказаться в продаже, магазин может закрыться на переучет, придется идти в другой магазин и т. п.), используется несовершенный вид.

Итак, приемлемы следующие варианты:

 — после занятий я спрашиваю у брата, есть ли замок, и иду покупать его;
 — после занятий я спрошу у брата, есть ли замок, и пойду покупать его.

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Dura lex, sed lex (Закон суров, но это закон).

В кратких страдательных причастиях, в отличие от полных, пишется Н, в кратких отглагольных прилагательных, как и в отыменных, пишется НН:

— при кратком причастии имеется (или мыслится) существительное в форме творительного падежа со значением деятеля; ср.: Территория около нового дома еще не благоустроена (причастие). — Территория около нового дома была мала, неблагоустроенна (прилагательное); Статья начитана для записи на пленку (причастие). — Девушка была музыкальна и начитанна (прилагательное); Население было взволновано сообщением по радио. — Море сегодня взволнованно. 

— краткие страдательные причастия употребляются в конструкциях с зависимым инфинитивом: Студентка намерена отвечать на вопрос; с зависимым дополнением: Спортсмены были уверены в победе; (но: Броски баскетболистов были точны и уверенны - без дополнения).

Примечание 1. Некоторые отглагольные прилагательные в краткой форме пишутся с н (если они образованы от приставочных глаголов, что сближает их с причастиями): Глаза у нее были заплаканы (ср.: заплаканные глаза); Пальто его было поношено (поношенное пальто).
 

Этот вопрос связан с употреблением возвратных глаголов разного типа. Речь идет о возвратных глаголах, у которых постфикс -ся не формирует страдательного значения, ср: Дом строится (страдательный залог); Я умываюсь (действительный залог). Возвратные глаголы, не связанные с образованием форм залога, могут относится к различным словообразовательным типам. Глаголы типа целоваться относятся к взаимно-возвратным (целоваться, обниматься и т. п.), функция постфикса -ся состоит у них в привнесении значения взаимности, отсутствующего у исходных переходных глаголов несовершенного вида (целовать, обнимать и т. п.). Эти глаголы используются в личных предложениях, поэтому использовать безличную конструкцию типа *нам целовалось нельзя.

Глаголы типа гуляться относятся к безлично-возвратным. Они образуются от непереходных глаголов несовершенного вида, используются преимущественно в отрицательных предложениях и в этом случае – помимо понижения степени зависимости предикативного признака от воли субъекта – выражают наличие каких-то препятствий к реализации желаемого или необходимого: ‘хочу, но не могу’, ‘не хочу, но должен’: Мне не работалось. Сегодня плохо работается. Пошли гулять, но как-то не гулялось. Безлично-возвратные глаголы употребляются в безличных предложениях, при них часто (но не обязательно) есть дополнение в дательном падеже, обозначающее субъекта действия. Этот словообразовательный тип является достаточно продуктивным (не спится, не пишется, не читается и т. д.).

Задание не сложное. Начните с определений, их можно найти в онлайновых словарях и энциклопедиях.

Мы ориентируемся «Русский орфографический словарь», который рекомендует написание: невзирая на лица.