Формулировка девиза представляет собой бессоюзное сложное предложение. Параллелизм строения частей позволяет увидеть в нем сопоставительные отношения, действительно выражаемые с помощью тире (см. пункт 1 параграфа 130 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Заметим, однако, что сказуемые вечно и бесконечно синонимичны (сравним словарное толкование прилагательного вечный: «бесконечный по времени»), то есть лексический состав частей не предполагает сопоставления.

В этом бессоюзном сложном предложении поставлена запятая и тире как единый знак — такая пунктуация довольно часто встречалась в произведениях писателей прошлого. Это отмечено в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), в примечании 1 к параграфу 130. Здесь же указано, что «знак этот в настоящее время утрачивает свою активность».

В современном русском литературном языке зафиксировано лишь прилагательное топорный. Однако форма топориный не только потенциально возможна, но и изредка (как окказионализм) встречается в художественных текстах: Второй..., с топориным профилем, рвался к лежащему [Сергей Шаргунов. Ура! (2003)]; ...и даже изобретает несколько интересных словосочетаний: «Мастер топориных дел», «Труповые головы» [Ирина Глущенко. Конкурс «Антибукер-98» уже близится к финишу // Независимая газета, 03.12.1998]. 

Между нарицательными именами существительными, сочетание которых выполняет определительную функцию при имени существительном (в данном случе цикл), ставится тире: система человек — машина; отношения учитель — ученик; проблема производство — человек — природа (см. параграф 20 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Добавим, что подобные сочетания не требуется заключать в кавычки: цикл рождение — жизнь — смерть.

Обособление нужно: деепричастный оборот, находящийся после союза или союзного слова, отделяется от него запятой (союзы не включаются в деепричастный оборот). Правило приведено в параграфе 68 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Об обособлении деепричастного оборота после союза в начале предложения см. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 20.2.

В таких случаях сказуемое находится в форме ед. ч. и согласуется с ближайшим подлежащим: На его гербе была не шпага и не корона, а белка. Сравним примеры из параграфа 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»: Меня угнетала не боль, а тяжелое, тупое недоумение (Горький); Опубликован роман, а не повесть, Опубликован не роман, а повесть; Это была не разведка, а настоящее сражение.

В этом случае непонятно, что имеется в виду под выражением как отправить приглашение. Если речь идет о способе отправки приглашения, то лучше так и написать: выберите способ отправки приглашения.

Во втором предложении нужно поставить перед союзом и запятую (по общему правилу о сложносочиненных предложениях) либо тире (для подчеркивания значения следствия): Если награда не начислится до 20 сентября, то напишите нам — и мы проверим.

Слово юзер-кейс правильнее писать через дефис, так как оно встраивается в ряд многочисленных сложных существительных с несклоняемой первой частью, выраженной существительным в им. п. ед. ч. без окончания (с нулевым окончанием), см. пункт 4 параграфа 120 справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина. Слово юзкейс воспринимается как сложносокращенное слово от словосочетания юзерский кейс (см. параграф 119 того же справочника).

Артём и Артемий – разные имена, от них образуются разные отчества. Отчество от имени Артём – Артёмович, отчество от имени Артемий – Артемиевич и Артемьевич. Если возникнет проблема с написанием Е – Ё в отчестве ребенка, можно обратиться в Институт русского языка РАН за справкой об идентичности имен Артем и Артём. Вот контактные данные ИРЯ РАН:

119019, Москва, ул. Волхонка, д. 18/2.
Телефон: (+7 495) 695-26-60
Факс: (+7 495) 695-26-03
ruslang@ruslang.ru

При прямом порядке слов (сказуемое следует за однородными подлежащими) обычно употребляется форма множественного числа сказуемого, при обратном порядке (сказуемое предшествует подлежащим, как в данном случае) – форма единственного числа. Впрочем, как отмечается в параграфе 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой, эти положения «не носят категорического характера», поэтому множественное число сказуемого также не ошибка.