Правильно: джиу-джитсу. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Что касается первого слова: словарной фиксации нет, корректно написание грепплинг. Не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква Е (ср.: бизнес, бренд, коттедж, партер, стенд, инерция); буква Э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем.
В правилах 1956 года немало рекомендаций, которые были обусловлены директивными политическими ограничениями и запретами того времени. Иными словами, на орфографию влияла идеология. Сочетания гражданская война, первая мировая война, вторая мировая война предписывалось писать строчными, т. к. они якобы не являлись собственными именами. От этих запретов отказались в 1990-е. Написания Гражданская война (в России), Первая мировая война, Вторая мировая война сейчас зафиксированы в словарях русского языка (составленных, разумеется, филологами). Такое орфографическое оформление соответствует общему правилу о написании с прописной буквы первого слова в названии исторического события.
Отчасти это так. Безударные окончания глаголов первого и второго спряжения произносятся практически одинаково (ходьт, учьт, смотрьт; пишът, читаjьт), а пишутся по-разному. Кстати, именно с этим и связаны орфографические трудности, с которыми сталкиваются школьники при изучении спряжений.
Ваша знакомая неправа в двух вещах. Во-первых, никаких радикально новых орфоэпических норм не существует, а во-вторых, безударная гласная в окончании не произносится как гласная полного образования А (Я) или У (Ю), она редуцируется (качественно "сокращается"), поэтому в безударной позиции, выражаясь научным языком, различные гласные фонемы могут быть представлены физически одинаковым звуком.
Дело в том, что костюмированный – старая, уходящая норма; ранее этот вариант считался единственно верным. Как правило, такие варианты, прежде отвечавшие строгой литературной норме, сохраняются в речи работников эфира, поэтому неудивительно, что так сказал диктор. Вариант костюмированный обусловлен тем, что суффикс -ованн-, как правило, ударный, ср.: избалованный (не избалованный), гофрированный (не гофрированный), газированный (не газированный). Вариант костюмированный – новая, молодая норма, но уже практически вытеснившая прежнюю (недаром Вы удивились, услышав костюмированный). Сейчас в словарях можно встретить оба варианта (старая норма в них еще отмечается), но предпочтительно: костюмированный.
Нормативными словарями современного русского языка это существительное не зафиксировано — очевидно, потому, что ранее женщин в этой профессии просто не было или было очень мало. Тем не менее такое слово не только вполне имеет право на существование, но и изредка употреблялось в художественных и публицистических текстах, например: Оленеводка из самого глухого Тоджа - хошуна , водила нас по курорту (Новый мир. 1941); А вот старая оленеводка, страстная книголюбка К. Панева рассуждает так... (В мире книг. 1971); Одетая как оленеводка, Аэлита изнывала от жары (Роман-газета. 1984).
На сайте самого движения используется обозначение Первые (с прописной без кавычек). То же — на логотипе организации. При этом в уставе организации и в официальных документах пишут «Движение первых».
О принадлежности ребенка к движению можно написать нейтрально — стал участником «Движения первых». Можно так: присоединился к Первым. Эти названия совсем недавно появились в языке, поэтому будем наблюдать за их употреблением. Возможно, со временем какие-то формулировки и написания станут устойчивыми, пока же они только осваиваются языком.
См. также ответ на вопрос № 319215.
Возможны оба варианта употребления этих слов — и склоняемый, и несклоняемый (в Кудрове, в Мурине, в Кузьмолове и в Кудрово, в Мурино, в Кузьмолово). В сочетании с родовым словом эти топонимы не склоняются: в городе Кудрово. Склоняемый вариант соответствует строгой литературной норме. Словарь «Грамматическая правильность русской речи» указывает: «В образцовом литературном стиле (со сцены, с телеэкрана, в радиоречи) эти формы следует склонять».
О склонении топонимов см. наш подробный материал «В Простоквашино или в Простоквашине? Надо ли склонять русские топонимы».
По правилам двоеточие не требуется.
Андрей, доверяйте словарям: http://www.gramota.ru/slovari/dic/?word=%EA%EE%F4%E5&all=x
Думаем, что поставленная Вами задача не решается исключительно пунктуационными методами (изменением мест постановки знаков препинания).
