Слово невозможно употребляется как наречие в значении 'очень, чрезвычайно' и как предикатив в значении 'нет возможности, нельзя'. В первом Вашем примере невозможно является предикативом (выполняет функцию сказуемого). Хотя словари и указывают на возможность слитного и раздельного написания предикатива невозможно, этот предикатив, как правило, пишется слитно. Во втором приведенном Вами примере невозможно – наречие, оно всегда пишется слитно. 

Итак, в обоих примерах корректно слитное написание.

В современных справочных пособиях по правописанию отсутствуют рекомендации по написанию наименований, оформленных буквами латинского алфавита. Традиционно в русских текстах написанные латиницей названия в кавычки не заключаются, поскольку оформление слова или словосочетания средствами иной графической системы само по себе является выделительным.

Что касается названий, оформленных средствами двух алфавитов, то их, на наш взгляд, целесообразно заключать в кавычки, для того чтобы подчеркнуть цельность наименования, которое из-за сочетания символов разных графических систем зрительно разбивается на части и не воспринимается как единое целое.

Итак, наши рекомендации: телеканал Russia Today; но: «Наша Russia».

Мужской вариант склоняется, женский вариант не склоняется. Подробно см. в Письмовнике.

Варианты различаются по значению. В первом случае выделяется словосочетание главврач больницы, во втором – кадры больницы. Выберите нужный вариант в зависимости от требуемого значения. Возможно, слово больница следует убрать.

Слова таким образом являются вводными и обособляются в значении "итак, следовательно, значит, другими словами", например: Таким образом, ты отказываешься от встречи? В значении "так, таким способом" слова таким образом не выделяются запятыми: Я решил поступить таким образом: сперва...
В Вашем примере пунктуация также зависит от смысла: Таким образом, выявленные нарушения могут повлиять на достоверность отчетности (=следовательно, нарушения могут повлиять) или Таким образом выявленные нарушения могут повлиять на достоверность отчетности (=таким способом нарушения могут повлиять).

Корректно: зубная паста «Colgate Макс Фреш», «Colgate Прополис Свежесть дыхания».
Знак & употребляется, как правило, в названиях, написанных латиницей; справочники по русскому языку такое употребление не оговаривают. Логично предложить (в текстах, но не в логотипах) написание с пробелами до и после знака & (например, Procter & Gamble), поскольку & = and ("и").

Извините за задержку с ответом. Ваш вопрос довольно сложный, и вот по каким причинам. Во-первых, название компании LEGO (головной офис которой находится в Дании) представляет собой аббревиатуру, образованную из букв словосочетания на датском языке leg godt, которое означает "играй хорошо" (на латинском языке lego также значит "я собираю", но компания LEGO Group заявляет, что латинская этимология названия – это не более чем совпадение). Таким образом, история названия дает нам основание для написания его прописными буквами. Во-вторых, слово лего употребляется в русском языке уже как нарицательное существительное, обозначающее конструктор такого типа вообще (не обязательно произведенный фирмой LEGO), а также игру с таким конструктором. Это дает нам основания для написания с маленькой буквы без кавычек.
Итак, наши рекомендации таковы. Предпочтительно (особенно при указании торговой марки) написание конструктор LEGO или конструктор «Лего». Но в бытовом употреблении (и тем более при передаче разговорной речи) возможно написание конструктор лего.

Да, склоняются.

Корректно с НИ.

Такого слова в русском языке нет.