Не существует какого-то отдельного специального правила, которое бы определяло, какие слова в названиях культов, сект, духовно-рыцарских  орденов, братств и пр. следует писать с прописной буквы, тем более если речь идет, как в Ваших вопросах, о названиях разного типа: с одной стороны, о реальных исторических наименованиях, а с другой — о вымышленных названиях в художественных произведениях.

В общем и целом можно руководствоваться правилом о написании названий учреждений, организаций, обществ, политических партий и объединений: в них с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные (ср.: Ливонский орден, Тевтонский орден, Мальтийский орден, орден Гроба Господня – здесь всё по правилу). Родовые наименования по общему правилу пишутся строчными. Но на орфографическое оформление конкретного названия могут влиять и употребление слова не в своем обычном значении, и традиция, связанная с названием: наименование, имеющее давнюю традицию употребления, может быть оформлено иначе, чем название, придуманное для современного художественного произведения в стиле фэнтези, например.

Написание рыцари Круглого стола зафиксировано академическим орфографическим словарем «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Этому не противоречит написание Рыцари Колумба, т. к. в данном случае Рыцари — первое слово в названии католического движения, к тому же здесь оно не в своем обычном «средневековом» значении.

Если говорить о написаниях типа орден Пылающей Розы / Пылающей розы, орден Черной Пантеры / Черной пантеры, то предпочтительно  по общему правилу писать орден Пылающей розы, орден Черной пантеры (ср.: Война Алой и Белой розы), но в художественных и стилистических целях, чтобы подчеркнуть образность названия, можно допустить и орден Пылающей Розы, орден Черной Пантеры. Однако в таких случаях, как культ Восставших из ада, где название состоит из нескольких слов, включая служебные, написание каждого слова с прописной будет совершенно неуместным.

Вы совершенно правы, корректно так: секта Последнего дня, культ Восставших из ада, орден Пылающей розы, братство Стали, секта "Братья Иеговы", братство "Долг". 

Можно поставить как запятые, так и тире.

Кавычки не нужны.

Название заведения нужно писать в соответствии с учредительными документами. А так как слово кофе?культ словарями не зафиксировано и подпадает под разные орфографические правила, то возможны и разные варианты написания. Связано это с тем, что часть кофе допускает несколько трактовок: 1) как часть с соединительной гласной е, 2) как первый компонент в сочетании существительного с приложением, 3) как сокращение слова кофейный. Возможность неоднозначной трактовки приводит к возможности применения разных правил.

Сложные существительные, содержащие соединительную гласную на стыке частей, пишутся слитно, например: паровоз, бактерионоситель, птицеферма, вишнеслива, волколис, религиоведение, музееведение. Этому правилу подчиняются слова кофеварка, кофемашина, кофемолка, кофезаменитель. 

Сложные существительные и сочетания с однословным приложением, если в их состав входят самостоятельно употребляющиеся существительные и обе части или только вторая часть склоняются, пишутся через дефис, например: альфа-частица, баба-яга, бас-гитара, бизнес-тур, гольф-клуб, шоу-бизнес, а также кофе-пресс, кофе-автомат, кофе-брейк, кофе-пауза, кофе-порошок, кофе-суррогат.

Сложносокращенные слова пишутся слитно, напр.: главбух, госзаказ, детсад,  домработница, жилплощадь, завскладом, канцтовары, спорткафе. Ср.: кофейная машина – кофемашина.

Новым словам приходится встраиваться в эту систему орфографических закономерностей. По первому и третьему правилу можно написать кофекульт, по второму – кофе-культ. А ведь еще культ может стать собственным названием кофе (кофе «Культ») или видом кофе (кофе культ).

Согласно «Толковому словарю иноязычных слов» Л. П. Крысина, слово помпезный происходит от французского pompeux, восходящего к латинскому pompa, греческому pompe 'триумфальное шествие'. Но связаны ли между собой греческие слова pompe и pempo? С этим вопросом мы обратились к постоянному консультанту «Справочного бюро» специалисту по классическим языкам Н. И. Березниковой. Вот что ответила нам Наталья Ивановна:
Слова pompe и pempo, скорее всего, связаны. Первое из них (существительное) имеет значения: 1) отправление, посылка, доставка; 2) насылание, ниспосылание; 3) сопровождение, проводы; 4) переезд, поездка; возвращение; 5) торжественное шествие, процессия; 6) торжественность, пышность; 7) (у римлян) триумфальное шествие.
Второе – глагол: 1) посылать, отправлять; 2) ниспосылать; 3) сопровождать, провожать, отвозить; 4) культ. сопровождать в торжественной процессии (даже есть сочетание pempo pompe), торжественно справлять; 5) испускать, издавать.
Таким образом, мы видим, что это – практически – очень распространенная в индоевропейских языках ситуация с абляутом. Ср. русское «нести ношу», «вождь ведет», английское food и feed...

Фетишизм - 1) религиозное поклонение фетишам; культ неодушевленных предметов у первобытных народов; 2) слепое поклонение чему-л.; 3) половое извращение - достижение полового возбуждения и удовлетворения при манипуляциях с предметом, символизирующим сексуального партнера (предметом одежды, деталью туалета и др.)

Эти слова нельзя считать родственными: они образованы от разных корней. Культ -- от латинского cultus «почет, почитание, уход», факультет -- от латинского facultas «способность, умение, сила».