Словари
прилаживать(ся), -аю(сь), -ает(ся)
Ответы справочной службы
1. Неясно, о каких именно "древних" словарях Вы пишете. Из приведенной Вами словарной цитаты следует, что: 1. Глагол садить (заголовочное слово) имеет стилистическую окраску как народно-разговорное слово; 2. Значения глагола садить совпадают (=) со значениями глагола сажать — именно в этой словарной статье их и следует искать.
2. Прошу садиться — стандартная этикетная формула. См. о садиться и присаживаться на https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/prisazhivatsya-i-saditsya
Справочники
Вопрос Как правильно: присаживайтесь или садитесь при обращении к посетителю? Присаживаться - присесть – сесть на короткое время или в недостаточно удобной, спокойной позе, в отличие от садиться (ср. также часто встречающееся присаживайтесь поудобнее). Нейтральная форма при обращении к посетителю садитесь, но допустимо употреблять и форму присаживайтесь, хотя она имеет разговорный оттенок. Желание избежать формы
...Вопрос Как правильно: присаживайтесь или...
Журнал
В справочную службу Грамоты пишет недоумевающий пользователь: «...Меня резко поправили, когда я спросила „кто последний“ (в очереди), сказали, что в русском языке так говорить не принято, а нужно „кто крайний“». На самом деле все как раз наоборот. Неправильно спрашивать в очереди «кто крайний» и не стоит, предлагая гостю сесть, говорить «присаживайтесь» (грамотно «садитесь»).
...В справочную службу Грамоты пишет недоумевающий...
...Мы не случайно объединили два этих мифа в один...
Научный руководитель Грамоты Владимир Пахомов пишет в Газете.ru о том, почему не надо бояться молодежного сленга.
...Научный руководитель Грамоты Владимир Пахомов пишет...
...Почему нас так раздражает речь подростков? Непонятные...
В этот раз из всех вопросов, на которые справочная служба Грамоты ответила в мае, мы выбрали три очень разных. Один вопрос затрагивает новые, неоднозначно воспринимаемые явления в разговорной речи. Чтобы ответить на другой, наши консультанты глубоко погрузились в морфологические тонкости. А еще один вопрос нам задают очень часто (а подобные ошибки мы видим еще чаще), так что у него есть шанс попасть в число горячих.
...В этот раз из всех вопросов, на которые справочная...
...Орфография Вопрос: В слове молоденький суффикс...
