На воре шапка горит – о человеке, совершившем что-либо дурное, который непременно себя выдаст. Оборот восходит к старинному анекдоту о том, как нашли на рынке вора. После тщетных попыток найти вора люди обратились за помощью к колдуну; тот громко крикнул в толпу: «Смотрите-ка! На воре шапка горит!» И вдруг все увидели, как какой-то человек схватился за шапку. Так вор был обнаружен и уличен.

...На воре шапка горит – о человеке, совершившем...

...На воре шапка горит ...

Тяжела ты, шапка Мономаха (книжн., обычно ирон.) - о тяжести власти, ответственности. Это заключительные слова сцены «Царские палаты» драмы А. С. Пушкина  «Борис Годунов». Шапкой Мономаха венчались на царство московские цари, а само выражение получило в произведении Пушкина метафорический смысл  «трудно управлять государством».

...Тяжела ты, шапка Мономаха (книжн., обычно...

...Тяжела ты, шапка Мономаха...

Кавычки – парный выделительный знак препинания. Ими отмечают левую и правую границы слова или отрезка текста; таким образом, кавычки могут быть открывающими и закрывающими, при этом открывающие и закрывающие кавычки, как правило, различаются по рисунку. В русском письме наиболее употребительны следующие типы кавычек: «елочки» (употребляются в печатных текстах);  „лапки” употребляются, как правило, в рукописных текстах); ‘марровские кавычки’

...Кавычки – парный выделительный знак препинания...

...В чем разница между кавычками разного рисунка?...