Словари
Ответы справочной службы
Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует:
ашиха́ра-карате́, нескл., с.
карате́, нескл., с.
карате́-до́, нескл., с.
карате́-кеку́синкай, нескл., с.
коси́ки-карате́, нескл., с.
По аналогии следует писать и другие названия стилей карате.
Корректно со строчной буквы: карате, айкидо, тхэквондо и др.
Существительное карате тоже правильно писать с буквой е. В конце иноязычных слов после согласных пишется буква е, а не э, независимо от произношения.
Справочники
§ 6. Буква э пишется в начале корня для передачи гласного э (без предшествующего [j]): В начале следующих исконно русских местоименных слов и междометий: этот (эта, это, эти), этакий, эдакий, экий, этак, эдак; эва, эвон, эге, эгеге, эй, эк, эх, эхма, эхехе. В начале слов иноязычного происхождения (в том числе собственных имен), напр.: эврика, экспорт, экстренный, эллин, эпос, эра, этика, эхо, Этна, Эрик (с буквой э, передающей ударный гласный);
...Буквы э — е...
....: безе, шимпанзе, макраме, резюме, пенсне, турне, купе, гофре, пюре, тире, кабаре, фрикасе, шоссе, эссе, варьете, декольте, карате, кафе, и в словах с иноязычным суффиксом -есса (типа поэтесса, стюардесса, баронесса); в ряде собственных имен, напр.: Кармен, Неру, Рерих, Брем, Дантес, Тейлор, Дельфы,...
Журнал
Об истории появления буквы «э» в русском алфавите и о сложных случаях ее употребления рассказывает журнал «Наука и жизнь».
...Об истории появления буквы «э» в русском...
...Тридцать первая литера...
...Однако более поздние заимствования, относящиеся к XX веку, осложнили ситуацию: слова кашне, портмоне, карате пишутся через е, а произносится там [э]....
В ноябре пользователи интересовались, среди прочего, тем, как произносится слово «кафе», как правильно писать названия разных видов сумок и как расставить знаки препинания в сложном предложении, которое стало предметом спора.
...В ноябре пользователи интересовались, среди прочего...
...Проблема клатча и тоута: каким сумкам нужен дефис...
...В заимствованных словах перед звуком [э] может произноситься как мягкий согласный звук (пике, тетрадь, демократ, эпидемия), так и твердый (карате, варьете, пенсне, пюре, теннис, идентификация, дзен). В первом случае буква е обозначает мягкость предшествующего согласного, во втором — нет....
Как правильно писать недавно появившиеся в языке слова? Нередко на практике сразу рождается несколько параллельных вариантов написания. О принципах, которыми должны руководствоваться составители нормативных орфографических словарей, рассказывает статья доктора филологических наук, председателя Орфографической комиссии РАН (2000–2014) Владимира Лопатина.
...Как правильно писать недавно появившиеся в языке слова...
...Проблемы нормирования и опыт орфографической работы...
...Так, слово карате надо обязательно писать с буквой е на конце, а не с буквой э, как часто пишут: ведь мы пишем такие же несклоняемые существительные с твердой предшествующей согласной — кашне, пюре, шоссе, резюме, варьете и другие — с буквой е на конце, а не с э....
