Тире нужно для выражения противопоставления.

Орфографической норме соответствует раздельное написание: Героиня не нашего времени. Однако вариант со слитным написанием кажется в данном случае весьма удачным, так как позволяет достичь большей  художественной выразительности 

Оба варианта корректны, однако согласимся, что вариант "на день рождения" позволяет избежать двусмысленности. 

Запятая нужна: Главная героиня сама решает, что и как делать.

1. Конструкция Зачастую даже не встретившись вовсе не является предложением, поэтому невозможно судить о ее пунктуационном оформлении.

2. Если ударение в имени Лахджа падает на первый слог, то форма его творительного падежа — Ла́хджей. 

В современном русском языке в словах богиня, врагиня (устар. и шутл.), герцогиня, инокиня, монахиня, монархиня, графиня, героиня, барыня, боярыня, сударыня, рабыня, гусыня и т. п., а также в сложениях с компонентом -лог (геологиня, разг. шутл.) выделяется суффикс  -ин(я) / -ын(я). Суффикс имеет значение женскости.
Аффиксы (суффиксы, префиксы) никогда не заимствуются напрямую, а только косвенно, то есть как часть сложных заимствованных слов. Это очевидно, так как значение иноязычного аффикса недоступно подавляющему большинству носителей языка. В дальнейшем иноязычный аффикс может быть по тем или иным причинам принят словообразовательной системой языка. Например, в слове графиня он вычленился в русском языке под влиянием исконных образований ж. р. на -иня, -ыня (княги́ня и т. п.). 

В переводах на русский язык сказки Г. Х. Андерсена слово русалочка обычно пишется со строчной буквы как нарицательное существительное. Главная героиня — одна из шести принцесс-русалочек: Все шесть принцесс были прехорошенькими русалочками, но лучше всех была самая младшая, нежная и прозрачная, как лепесток розы, с глубокими, синими, как море, глазами. Но и у нее, как у других русалок, не было ножек, а только рыбий хвост. Чтобы выделить главную героиню, в тексте используется нарицательное существительное с указательным местоимением: Странное дитя была эта русалочка: такая тихая, задумчивая... 

Автор и переводчик могут использовать нарицательное существительное в качестве имени персонажа, но в этом случае оно вводится в текст как имя собственное. Например, в баснях И. А. Крылова, герои сразу появляются под своими именами: 

Проказница-Мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.

Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать-было совсем уж собралась,
Да позадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду Лиса близехонько бежала...

В научных работах об орфографии собственных имен отмечается, что при упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться. Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, и тогда правомерно написание Мертвая царевна. В сказке Шарля Перро «Кот в сапогах» действует герой кот (кот спустился с крыши, но кот – на то ведь он и кот – погнался за ней [мышью]), и только в других текстах при отсылке к этой сказке ее герой именуется Кот в сапогах (Арутюнова Е. В., Бешенкова Е. В., Иванова О. Е. Русское правописание с комментариями (в 4-х кн.). Книга 4. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Графические сокращения. М., 2023).

При таком пунктуационном оформлении фрагмента не показана связь между свойствами обладает особым даром и проживает несколько жизней. Если это замысел автора, то именно так и нужно расставить знаки препинания. Если же есть намерение показать эту связь, необходимо представить фрагмент как бессоюзное сложное предложение с пояснительными отношениями: Главная героиня нашей повести обладает особым даром: она проживает несколько жизней.

Женские личные имена и фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются. Существуют некоторые исключения из этого правила, например: Любовь, Жизель (героиня балета А. Адана), женские имена библейского происхождения Агарь, Рахиль, Руфь и др. Для некоторых имен допускается вариативное употребление — как склоняемых и как несклоняемых, например: Адель, Нинель. Имя Анель в справочниках личных имен не представлено, по общему правилу склонять его не нужно. 

Четыре сказуемых в этих строках образуют пары, внутри которых смысловые связи более тесные, чем между парами. Они словно рисуют две картинки, сменяющих одна другую: первая - героиня сидит и разбирает письма, вторая - берет в руки охапку и бросает. Чтобы эти смысловые отношения и соответствующую им интонацию отразить на письме, нужна запятая между парами.