Верен второй вариант разбора. Но только в том случае, когда исходным вариантом предложения (с нейтральным порядком слов и нейтральной интонацией) является Радость была большая. Если же в левом контексте говорится о каком-то положительно оцениваемом событии и подразумевается, что именно это событие и было большой радостью (К нам на каникулы приезжал брат. [Это] большая была радость!), то верен третий вариант разбора.

Вне всякого контекста это вопрос не лингвистический, а логико-понятийный, идеологический или даже философский.

В этом предложении сочетание в свою очередь является вводным: Ну а снижение стресса, в свою очередь, положительно влияет на умственные способности.

Да, правильно: Жив-таки, хрыч старый!

Частица -таки пишется через дефис, если она располагается после того слова, к которому относится, и это слово:

а) сказуемое (выраженное не только личной формой глагола, но и другими способами), напр.: Он приехал-таки вопремя; Вопрос решён-таки положительно; Он рад-таки её приезду;

б) неличная форма глагола (причастие или деепричастие) не в составе сказуемого, напр.: преступник, сумевший-таки скрыться; фильм, показанный-таки по телевидению; он выступил, сказав-таки всё, что хотел;

в) наречие: довольно-таки, наконец-таки.

Оборот входит в употребление, однако пока рекомендовать его в качестве нормативного преждевременно. 

1. Пишутся через дефис сочетания с частицами -де, -ка, -те, -то, -с, примыкающими к предшествующим словам, напр.: Говорит, он ничего-де не знает. Ответь-ка на вопрос. Чёрт-те что! Уж она-то знает, в чём дело. Знать-то она знает. Ночь-то какая! Где-то он сейчас, как-то ему живётся? Всё да да нет; не скажет да-с / Иль нет-с (П.).

То в составе союзов будь то и как то пишется отдельно от предшествующей части.

2. Пишутся через дефис сочетания с частицей -таки, следующей за словом, к которому она относится:

а) за сказуемым (выраженным не только личной формой глагола, но и другими способами), напр.: Он приехал-таки вовремя; Вопрос решён-таки положительно; Он рад-таки её приезду;

б) за неличной формой глагола (причастием или деепричастием) не в составе сказуемого, напр.: преступник, сумевший-таки скрыться; фильм, показанный-таки по телевидению; он выступил, сказав-таки всё, что хотел;

в) за наречием: довольно-таки, наконец-таки.

Частица таки, пишется раздельно, если предшествует слову, к которому она относится (обычно сказуемому), напр.: Он таки приехал вовремя (таки относится к слову приехал).

Верная пунктуация: Как человек в трезвом уме и твердой памяти, я отношусь к любому виду протекции положительно. Ибо, чтобы жить, нужны деньги и власть.

Да, при неофициальном употреблении (например, в тексте газетной статьи) верно написание строчными: глава республики предложил, глава Дагестана положительно охарактеризовал... Прописная буква нужна, если полное название должности используется в официальном тексте.

Запятая нужна.

Здесь уместны формы ед. ч. См.: