Указанная запятая нужна. Это не сложноподчиненное предложение, поэтому оснований для непостановки запятой нет. В сложных предложениях с разнотипной синтаксической связью знаки препинания ставятся на общих основаниях.

Нужно поставить запятую.

Значение новое, сниженное, словарями литературного языка не фиксируется. Можно было предположить, что ему найдется место в «Толковом словаре русской разговорной речи», который создается в Институте русского языка РАН. Там есть глагол тошнить, но в другом, старом значении.  

Да, вполне.

В слогане недостает запятой между однородными членам не быстро и не медленно. 

Запятая не нужна. 

Сочетание не спеша представляет собой пограничное явление. По форме это деепричастие, по функции — наречие. Как наречие не спеша охарактеризовано в «Русской грамматике» 1980 г. В правилах орфографии оно часто включается в перечень деепричастий (как форма глагола):

Отрицание не пишется раздельно в следующих случаях.

1. Со всеми формами глаголов (кроме полных причастий; о них см. § 150):

а) с инфинитивом и спрягаемыми формами, напр.: не знать, не знаю, не знаете, не знал, не знали, не торопишься, не торопимся, не торопись, не нравится, не повезло;

б) с краткими формами причастий, напр.: не использован, не накрахмалено, не откупорена, не разработаны, не закрыто, не занят, не выпито;

в) с деепричастиями, напр.: не желая, не отвлекаясь, не спеша, не шутя, не успев, не встретившись.

(Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М. Любое издание)

Запятая нужна, она должна закрыть уточняющий оборот.

С исторической точки зрения все эти слова (принять, объятия, неотъемлемый) являются однокоренными с глаголом иметь.  

Определительный оборот, стоящий после определительных, указательных и притяжательных местоимений (в том числе после местоимения всё), обычно тесно примыкает к ним и запятой не отделяется. Но запятая всё-таки возможна: если определительный оборот имеет характер пояснения или уточнения, то он обособляется. Поэтому окончательное решение здесь – за автором текста. У А. П. Чехова запятая в этом предложении стоит.