Правильно в родительном падеже: тетрадь Хадижи. Правило про «жи-ши» действует и здесь.
См. словарную фиксацию.
Можно назвать фразой, цитатой, монологом.
Правил, которые регламентируют эти случаи, нет.
Правильно: имени Ахмата Хаджи Кадырова.
Нет, не всегда. Например: Хаджи Мурат сидел рядом в комнате и, хотя не понимал того, что говорили, понял то, что ему нужно было понять: что они спорили о нём (Л.Т.).
Слово хаски может употребляться и в мужском, и в женском роде. Если говорится о породе собак (при этом не подчеркивается, что речь идет о самке), корректно употребление этого слова в форме мужского рода.