Если вопрос о том, каким членом предложения является союз а, то никаким: служебные слова (предлоги, союзы, частицы) не выполняют таких функций. Если вопрос о семантике союза, то он здесь выражает сопоставительные отношения.
Если это заголовок, то именно такое написание правильно. Правило таково: если название состоит из двух частей, соединенных союзом или, то перед союзом ставится запятая, а первое слово второй части пишется с прописной буквы.
В нашей эпистолярной традиции принято обращение по имени или имени и отчеству. Обращение по фамилии обычно используется в том случае, если известны только инициалы имени и отчества адресата либо если отчество не известно.
Если однородным членам предложения не предшествует обобщающее слово (словосочетание), то двоеточие ставится только в том случае, когда необходимо предупредить читателя, что дальше следует перечисление. Если такой специальной задачи нет, то двоеточие не нужно.
Если патрулирование осуществляют стратегические комплексы (военная техника), то правильно патрулирование (чем?) стратегическими комплексами. Если стратегические комплексы (объекты) патрулируются, то – патрулирование (чего?) стратегических комплексов. Обратите внимание: предложение построено неудачно, нельзя сопоставлять маршрут с территорией.
Какого рода проблемы? Если трудности связаны с правописанием, нужно обратиться к орфографическим справочникам. Если трудности в склонении, то обратитесь к грамматике. Начать можно здесь: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i2
Если поздравлять с праздником, то поздравлять нужно с Новым годом. Если же поздравлять с наступлением очередного года, то поздравлять с новым, 2014 годом. Подробнее об этом непростом случае см. ответ на вопрос № 249079.
Согласование зависит от смысла. Если из всех предприятий только треть были заинтересованы, то верно: треть предприятий, заинтересованная... Если все предприятия были заинтересованы, но только треть из них расширили, то верно: треть предприятий, заинтересованных..
В данном случае пунктуация зависит от контекста и смысла предложения. Если просто указывается сумма (от 20 тысяч), то запятая не требуется. Если подчеркивается, что 20 тысяч недостаточно, нужно платить больше, то запятая нужна.
Если имеется в виду, что спрос, объем производства, концентрация загрязнений, санкции, себестоимость должны стать равными, то предлог для не требуется.
Если слово уравнение используется в значении "формула, математическое равенство", то предлог для нужен.
