Непростой вопрос. В толковых словарях фиксируется только прилагательное доказательный, для которого указывается два значения: 'содержащий очевидные доказательства, убедительный' и 'использующий, приводящий серьезные, неоспоримые доказательства (обычно в краткой форме)'. Между тем в орфографических словарях слово доказательственный фиксируется, а в речевой практике встречается как сочетание доказательная база, так и доказательственная база. Этими сочетаниями называют совокупность доказательств, совокупность данных для доказательства. Соответственно, возможны оба сочетания.

В этом предложении подлежащее находится внутри деепричастного оборота. Деепричастные обороты, включающие в свой состав подлежащее (разумеется, не выделяемое внутри оборота запятыми), встречаются в стихотворных текстах у поэтов-классиков. Ср. другие примеры: Услышав граф её походку и проклиная свой ночлег и своенравную красотку, в постыдный обратился бег (А. С. Пушкин); Но рабскую верность Шибанов храня, свово отдаёт воеводе коня (А. К. Толстой).

Согласны с Вашим замечанием, нужно писать «Манчестер юнайтед». Тем более что есть фиксация в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко именно с таким написанием.

Что касается прописной буквы во втором и последующем слове собственного иноязычного наименования, то справочники делают исключение только для названий зарубежных информационных агентств: Франс Пресс, Пресс Интернэшнл и т. д. В остальных случаях используется строчная буква.

Согласно «Русской грамматике» (М., 1980) управление – это подчинительная связь, которая выражается присоединением к главенствующему слову существительного в форме косвенного падежа (без предлога или с предлогом); примыкание – это связь, при которой в роли зависимого слова выступают неизменяемые слова: наречие, неизменяемое прилагательное, а также инфинитив, компаратив или деепричастие. Если исходить из этих определений, то неизменяемые имена существительные в приведенных сочетаниях управляются главным словом.

Правила не изменились, скорее они стали более детальными. Например, названия станций метро в текстах заключаются в кавычки, а на картах, схемах и на самих станциях пишутся без кавычек. Познакомиться с наиболее полными правилами употребления кавычек можно в сборнике «Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» (под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 и др. издания), а также в «Письмовнике».

Довольно часто в этой пословице ставят запятую. Однако в соответствии с правилами пунктуации возможно два варианта: без какого-либо знака перед что, либо с тире. Это предложение по структуре простое, подлежащее выражено инфинитивом разговориться, сказуемое – сравнением что меду напиться. В таких случаях знак препинания обычно не ставится, но в случае акцентирования сказуемого (и для пословицы это кажется вполне оправданным) допускается тире.   

Сочетание по крайней мере в значении «самое меньшее», «минимум», «хотя бы» (как в приведенном примере) не выделяется запятыми. Вместе с тем сочетание по крайней мере за то можно выделить как присоединительную конструкцию, если на слове простить автор хочет поставить логическое ударение: ...мы обязаны его простить, по крайней мере за то, что он был гением.

Да, хотя по-латыни не оканчивается на -ому, -ему, -цки, -ски, -ьи, тем не менее такое написание установилось именно под влиянием наречий типа по-немецки, по-английски, по-русски. В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» наречие по-латыни описывается поэтому в примечании к параграфу, где идет речь о дефисном написании наречий с приставкой по-, оканчивающихся на -ому, -ему, -ски, -цки, -ьи.