В приведенном примере правильно без мягкого знака (можно поставить вопрос что сделает?). В неопределенной форме глагола корректно с мягким знаком: что сделать? – встретиться (должна встретиться).

Правильно: Обращает на себя внимание тот факт, что такие источники поступления доходов, как сбор за выдачу разрешений, не предусмотрены статьей 133.

Это вопрос лингвистической экспертизы. Портал «Грамота.ру» не проводит таких экспертиз. Вы можете обратиться к нашим коллегам – в Гильдию лингвистов-экспертов по документационным и информационным спорам.

Для официального текста предлагаем такой вариант: мероприятия, проведенные в Государственной Думе в течение весенней сессии.

Оборот в связи с этим обособлять не нужно. Если второе полугодие 2016 г. – это и есть отчетный период, то лучше так: В связи с этим ввод данных в ГАС Управление за следующий отчетный период (2-е полугодие 2016 г.) станет доступен с 01.01.2017. 

Правильными будет такой вариант. 

Я должен купить на Новый год:

• то же самое, что покупал в прошлом году;

• картошку;

• курицу;

• майонез.

Верно: во всей сети АЗС.

Вы задаете непростой вопрос. Действительно, со слова например начинается пояснительный оборот. Вводные слова, стоящие в начале обособленного оборота, от самого оборота запятой не отделяются, чтобы читателю было понятно, что вводное слово относится именно к обороту, а не к предшествующему тексту. Но в Вашем примере сам оборот графически оформлен как самостоятельное предложение (такое явление называется парцелляцией). Подобные ситуации в справочниках по пунктуации не описаны. При этом указано, что, выделяя оборот скобками (т. е. более сильным знаком), запятую после вводного слова ставить нужно (например, как здесь). Полагаем, что после точки, как и после скобки, обособление вводного слова предпочтительно. 

Я по себе помню, хотя я была старше девчонок твоих, но за два года поездок в школу с ВДНХ на Пражскую немного устала. 

Следует писать ни. Уступительное придаточное предложение здесь: Куда только Катя ни обращалась за помощью.