Корректно с запятой: Нам нужно двигаться в направлении, обратном направлению градиента.
Запятая нужна. Она ставится между частями сложносочиненного предложения: Прошло два дня, и курица с визитом отправилась к свинье.
Если помнит тоже относится к городу, фразу надо править. Корректно: Сказал, что помнит город своего детства и скучает по нему.
Можно поставить запятую перед прошу, но это совсем не обязательно.
Женская фамилия не склоняется. Мужскую корректно склонять так: Заеца, Заецу, Заеца, Заецем, о Заеце.
Употребление приветствий регулируется нормами речевого этикета. См. ответ на вопрос № 270574.
Корректная пунктуация: Ну как немного — пять минут до начала пары.
Да, нужна прописная буква. Вы написали правильно.
Корректно: Ханты-Мансийский автономный округ – Югра.
Следует писать со строчной: уполномоченный ОГПУ.
