Слова бег-л-ый и бег-лец-ø являются производными словами, образованными от глагола бежать (морфемный состав: беж-а-ть, основа включает корень и суффикс: беж-а-).

Прилагательные с суффиксом -л- имеют значение ‘находящийся в состоянии, возникшем в результате процесса, названного производящим глаголом’. В качестве производящих выступают непереходные глаголы обоих видов, ср.: бежать → бег-л-ый (с усечением конечной гласной глагольной основы и чередованием ж // г), устать → уста-л-ый, спеть → спе-л-ый, тухнуть → тух-л-ый (c усечением суффикса -ну- в глагольной основе), гнить → гни-л-ой, уметь → уме-л-ый, бывать → быва-л-ый, быть → бы-л-ой и т. п.

Существительные с суффиксом -лец- называют лицо, осуществляющее действие, названное производящим глаголом: бежать → бег-лец-ø, страдать → страда-лец-ø, владеть → владе-лец-ø, погореть → погоре-лец-ø, жить → жи-лец-ø, кормить → корми-лец-ø и т. п. Облик производящей глагольной основы обычно сохраняется, исключение — слово бег-лец-ø (← бежа-ть), при образовании которого производящая основа усекается и происходит чередование ж // г.

Корневого исторического чередования *г // гл не существует. Добавочный звук л в корне (так называемый л-эпентетикум) появился во многих славянских языках после губных [б], [п], [м], [в] на месте исчезнувшего [j], ср.: куп-и-ть — купл-ю, купл-я; руб-и-ть — рубл-ю, рубль; зем-н-ой — земл-я; лов-и-ть — ловл-ю, ловл-я и т. п. Это историческое чередование оказалось настолько значимым для системы языка, что позже, при заимствовании слов с губным [ф], тоже появился вставной л, например: раз-граф-ить — раз-графл-ю.

блю́-дце

[бл’у́ццэ]

б ― [б] согласный, звонкий (парный), твердый (парный);

л ― [л’] согласный, непарный звонкий, сонорный (всегда звонкий), мягкий (парный);

ю ― [у] гласный, ударный;

д ― [ц] согласный, непарный глухой, твёрдый (непарный, всегда произносится твёрдо);

ц ― [ц] согласный, непарный глухой, твёрдый (непарный, всегда произносится твёрдо);

е ― [э] гласный, безударный;

6 букв, 6 звуков, 2 слога.

 Существуют разные взгляды на звуковое оформление сочетаний тц и дц. Звук ц может иметь разную длительность, а его артикуляция начинается со смычки как у звуков т и д. Поэтому некоторые фонетисты предлагают иное звуковое описание буквосочетания дц. Сочетание может быть затранскрибировано как [тц], также вместо записи [цц] может быть использован знак длительности согласного [ц:]. В беглом произнесении возможен вариант блю[ц]е. 

Проблема состоит в том, что разные ученые (в том числе и составители словарей) по-разному оценивают степень устойчивости тех или иных сочетаний, поэтому могут либо причислять, либо не причислять их к фразеологизмам. Например, в двухтомном "Фразеологическом словаре современного русского литературного языка" под редакцией А. Н. Тихонова, который понимает фразеологию максимально широко, зафиксированы фразеологизмы иметь за душой (за душой ничего — это, в сущности, его вариант), душа в пятки ушла, радостно на душе. Сочетание с дорогой душой в этом длинном списке не числится, однако в нем есть со всей душой, с открытой душой, с чистой душой, так что отсутствие фразеологизма с дорогой душой можно счесть досадным упущением. Поэтому приходится констатировать, что задание некорректно, так как все приведенные в нем сочетания со словом душа можно считать фразеологически связанными. 

Да, словари русского языка (см., напр., «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова) подтверждают, что у сочетания красная рыба есть устаревшее значение «рыба сем. осетровых (белуга, осётр, севрюга и др.)». Однако в современном русском языке красной рыбой называют рыбу семейства лососевых с мясом розовато-оранжевого цвета (сёмга, форель, кета и др.), что тоже подтверждается словарями. Т. е. формулировку в кулинарной книге можно уточнить: изначально красной рыбой назывались не лососевые... Но сейчас для носителей русского языка красная рыба – не осётр, а лосось.

Да, такие правила существуют. Они называются правилами координации. Вот выдержка из этих правил.

Недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов. В этих случаях слитные или дефисные написания, рекомендуемые основными правилами, должны заменяться раздельными. Например, следует писать: лже доктор наук, псевдо произведение искусства, теле круглый стол, мини стиральная машина; экс Советский Союз, псевдо Ван Гог, пол рабочего дня, пол столовой ложки, пол Московской области. (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.)

Однако сочетание (лже) крымское шампанское может быть понято двояко и, соответственно, иметь разные написания. Лже крымское шампанское – это какой-то напиток, выдаваемый за крымское шампанское (лже + крымское шампанское), лжекрымское шампанское – это шампанское, которое сделано не в Крыму, но выдается за крымское.

Фраза Это да, с помощью которой говорящий выражает согласие с некоторым аргументом собеседника (хотя с другими аргументами он может быть не согласен), представляет собой нечленимое предложение (коммуникему). Такие предложения обычно произносятся без пауз внутри, ставить в них знаки препинания нет оснований: Да ладно, Ну конечно и т. п. От нечленимых предложений следует отличать случаи, в которых местоимение это обозначает предмет или явление, упомянутые ранее, например: Научно-популярная литература? О! Это — да. Это — совсем другое дело, очень нужное, очень полезное [Говорит Андрэ Львов // «Химия и жизнь», 1966].

В предложении Вчера — да слово да обозначает некоторую упомянутую ранее ситуацию; такое же значение может иметь слово нет. В подобных предложениях ставится тире, поскольку в них есть или подразумевается сопоставление: Работал ли я? Вчера — да, сегодня — нет.

Стилистическое расслоение лексики описывается в пособиях по практической стилистике и культуре русской речи, см., в частности, раздел «Стилистические пласты лексики» в справочнике «Русский язык», размещенном на нашем портале. Оценка тех или иных слов как разговорно-сниженных дается на основе анализа текстов, обязательно с учетом словарных данных. В толковых словарях русского языка и в специальных словарях (разговорной речи, жаргонов, бранной лексики) используется система помет для указания на стилистический статус слова. Соответствующие стилистические пометы служат достаточным основанием для признания слова грубо-просторечным или бранным. Однако следует иметь в виду, что это оценка дается слову как единице лексической системы языка. Если оценивается употребление слов в совершенно определенных высказываниях или текстах, то в этом случае рассматриваются и все те факторы, какие сопутствовали появлению слова в речи, то, в каких условиях и кем произнесено (написано) слово, кому оно адресовано, как оно воспринимается слушателем или читателем.

Надпись на монументе может иметь разные грамматические трактовки. Она прочитывается прежде всего как неполное предложение, построенное по схеме «кто — кому», а в таких предложениях действительно ставится тире (см. параграф 17 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Но можно увидеть в ней неполное предложение, восстанавливаемое примерно как [Этот монумент установили] березниковцы, [этот монумент посвящен] детям войны; поскольку это надпись на самом монументе, то непонимания не возникает даже при такой неполноте конструкции. Таким образом, вариант с запятой допустим.

Возможно и прочтение надписи, не требующее знаков препинания: [Этот монумент установили] березниковцы детям войны. Две части конструкции можно записать в разных строках. Сравним построенную по подобной модели надпись на монументальном конном памятнике Петру Первому, известном как Медный всадник (заметим, правда, что здесь другой порядок частей): 

ПЕТРУ ПЕРЬВОМУ
ЕКАТЕРИНА ВТОРАЯ
ЛѢТА 1782

Предпочтительно в им. п.

Можем только предположить, что это иностранное (иноязычное) имя или же имя-аббревиатура (как Мэлс, Фэд и т.д.).