В слове легко ударение падает на последний слог. Церковнославянский текст акцентуирован, и ударение там именно на последнем слоге. 

Корректно:  ...погода в продолжение недели стояла сухая и тёплая. Это прозводный предлог. 

В этом случае нужно поставить тире.

См. в разделе «Азбучные истины».

В который — союзное слово, член придаточного предложения. Для того чтобы выяснить, какой это член, нужно подставить на его место то существительное, вместо которого оно употреблено. В который употреблено вместо в лес. Соответственно, в придаточном имеем: я вошел (куда?) в лес (= в который). Перед нами обстоятельство места. Предлог в, естественно, входит в его состав, ведь в + П. п. (в лес, в класс, в город) — это, как и со всеми предлогами, единая предложно-падежная форма имени.

Фразеологизм – устойчивое сочетание слов, постоянное по своему составу и значению, воспроизводимое в речи как готовая единица. Иногда выделяют еще фразеологические выражения. Это членимые и разложимые словосочетания и предложения, значение которых складывается из значений составляющих их слов, но у них есть одно сходство с фразеологизмами – постоянство состава, воспроизводимость в речи в качестве готовых единиц. Таковы пословицы, поговорки, «крылатые слова», цитаты из известных художественных произведений.

Таким образом, в Вашем случае можно говорить о поговорке или о фразеологическом выражении.

Для того чтобы точно ответить на вопрос о пунктуации в Ваших примерах, требуется более широкий контекст. Общее правило следующее. При встрече вводного слова и союза запятая после союза ставится, если вводное слово (кроме того) можно опустить или переставить в другое место предложения без нарушения его структуры. Если же изъятие вводного слова невозможно (то есть союз включается во вводную конструкцию, образуя с ней единое сочетание), то запятая после союза не ставится (обычно это бывает при союзе а).

Чтобы научиться различать второстепенные члены, нужно научиться находить слово, от которого зависит данный второстепенный член, и ставить от этого слова смысловой вопрос к второстепенному члену. Полезно предварительно твердо выучить, на какие вопросы могут отвечать определения, дополнения и обстоятельства.

В приведенном примере сквозь камень зависит от сказуемого: сочилась (как?) сквозь камень. На вопрос как? может отвечать только обстоятельство.

Предлог всегда входит в состав члена предложения, потому что предлог всегда образует с именем существительным (или местоимением) единую предложно-падежную форму.

Такое употребление можно считать канцеляризмом. Конечно, лучше его избегать.

Наличие разных вариантов разбора может быть связано с тем, что в одних источниках описан современный морфемный состав слова, в других – исторический. С исторической точки зрения в слове начинаться может быть выделена приставка на- и корень -чин-. Но в современном языке приставка в этом слове уже не выделяется, поэтому не будет ошибкой назвать начин- корнем. Далее суффикс -а-, затем формант -ть-, который может быть назван как суффиксом, так и окончанием (единой точки зрения у лингвистов нет). И постфикс -ся.
Информация доступна здесь.