Все варианта верны, однако между ними есть различия в значении. 

Формы типа мне с Дмитрием, нам с Дмитрием указывают на общность, единство тех, кому давали деньги.
Форма мне и Дмитрию подчёркивает, что деньги давали каждому из нас, не обязательно вместе.

В глаголе горевать суффикс -ева-. Написание е на месте безударного гласного в нем объясняется наличием чередования ова(ева) / у(й): горевать — горюю, ср.: беседовать — беседую, бичевать — бичую. У глаголов на -ивать форма 1-го лица оканчивается на -иваю: осматривать — осматриваю.

Да, кавычки уместны, они помогут обратить внимание адресата текста на необычное употребление слова. Кавычки можно не ставить в тексте для подготовленного читателя (например, в издании для автолюбителей), если нет сомнений в том, что смысл сочетания будет понятен читателю и без кавычек.

В этом предложении оборот с союзом как — сравнительный оборот, что отчетливо видно, если изменить порядок слов: Я пытаюсь, как дурак, догнать тебя. Дело, видимо, в том, что смысл предложения прежде всего в попытке догнать, а не в характеристике этой попытки. 

Если название организации заключается в кавычки, то кавычки сохраняются и в том случае, если название оказывается внутри прямой речи (предпочтительно при этом использовать кавычки разного рисунка). Например: «Я люблю останавливаться в гостинице "Россия"», — сказал он. 

Организаторы имели в виду, что в предложении Самсонова Сима обратилась с просьбой к Лизе звук [c'] встречается два раза: в словах Сима и обратилась. Дело в том, что в слове просьбой перед звонким согласным [б] произносится звонкий звук [з'].

В «Большом толковом словаре русских глаголов» в соответствии с назначением и принципами построения словаря приведены английские эквиваленты лексических значений глаголов. Словарь адресован в том числе преподавателям русского языка как иностранного. Это комплексный толково-переводно-идеографический словарь, таким его и задумывали составители.

В предложениях 1, 2 и 4 вместо тире предпочтительно поставить двоеточие, поскольку это бессоюзные сложные предложения, в которых вторая часть поясняет то, о чем говорится в первой части. Обратите внимание, что в предложении 4 слово несколько должно находиться в винительном падеже.

Предпочтительнее видеть здесь два словосочетания: 1) стояло высоко; 2) высоко над горизонтом.

Вариант 1) стояло высоко; 2) стояло над горизонтом хуже, потому что существительное с предлогом над распространяет именно наречие высоко, чем и объясняется порядок слов.