Такое наречие не зафиксировано нормативными словарями, но, если есть необходимость записать именно его, предпочтительно использовать слитное написание (по аналогии с другими похожими наречиями типа вживую, вплотную, всухую, втемную, вчистую).

По правилам названия отделов и частей учреждений и организаций пишутся со строчной буквы. См. § 193 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Названия пород животных в неспециализированных текстах не пишутся с прописной буквы. Предложенное Вами написание блек-ангус представляется оптимальным, но возможны и допустимы колебания по оппозициям дефис/пробел и э/е.

Основной принцип выбора между прямой или косвенной речью состоит в том, что́ важно для автора — передать чье-то высказывание дословно, со всеми лексическими особенностями формулировок, или изложить только содержание этого высказывания, в отвлечении от формы. Слово типа вводит особую разновидность прямой речи, которую можно обозначтить как «наглядно-примерная». Оформление такой речи специально не оговорено в справочниках по пунктуации, однако это всё-таки прямая речь, поэтому рекомендуем оформлять ее так, как Вы оформили приведенные в вопросе примеры.

Это решение принято редакторами словаря, не редакцией портала. Решение оправданное: род аббревиатуры определяется по родовому слову: БАД - добавка, женский род. Но, как Вы справедливо замечаете, могут быть и исключения.

Орфографически верным будет слитное написание (по аналогии с зафиксированным в «Русском орфографическом словаре» РАН словом диетврач). Но, может быть, получится выразить нужный смысл не столь диковинными для русского языка словами?

Вы правы, в формах косвенных падежей эти названия совпадают, возможна путаница. Это одна из причин, по которым несклонение топонимов на -О считается допустимым. См.: http://gramota.ru/class/istiny/istiny1toponimy/

По основному правилу двоеточие не требуется, так как при однородных членах нет обобщающего слова.

Но в деловых и научных текстах двоеточие может ставиться перед перечислением и при отсутствии обобщающего слова. 

Такие слова в принципе существуют, но они малоупотребимы в живой речи – скорее, специально образованы  по продуктивным словообразовательным моделям. Обычно в качестве примера таких слов приводят ротмистрство, бургомистрство, контрстратегия и др.

Правильно: Гуржий, Гуржия, Гуржию и т. д. Но если обладатель фамилии настаивает на склонении слова Гуржий по образцу прилагательного (Гуржего, Гуржему и т. д.), то следует прислушаться к его мнению.