Если человек одновременно является и главным специалистом, и педиатром в структуре Министерства здравоохранения, то рассматриваемые сочетания образуют двойное название должности, между частями которого ставится тире. См. пункт 1 параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, где в качестве примера приводится название должности директор — художественный руководитель. 

Ваш в Вашем вопросе корректно писать строчными, так как Вы обращаетесь к коллективу "Грамоты" (нескольким лицам). А вот мы, отвечая на вопрос, обращаемся к Вам как к автору вопроса (одному лицу), поэтому пишем Вы, Ваш с прописной. 

Да, считаные в значении 'очень немногие' сейчас пишется с одним н. Это написание было приведено в соответствие общему правилу: в прилагательных не на -ованный (-ёванный, -еванный), образованных от глаголов несовершенного вида, пишется одно н. Раньше это слово приводилось в списке исключений.

Впервые написание считаный было предложено в 1-м издании «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина (М., 1999). Еще одно слово, выведенное тогда из списка исключений, — деланый. Теперь оно тоже пишется по общему правилу: прилагательное деланый ('неестественный') — с одним н (деланое равнодушие), причастие деланный — с двумя н (деланное много раз предложение).

Изменение написания некоторого количества слов в очередном издании орфографического словаря — вполне обычное дело, но только относительно недавно эта работа стала открытой для общества. Авторы всех выходивших в советские годы исправленных и дополненных изданий «Орфографического словаря русского языка» тоже не обходились без некоторого количества орфографических изменений, но эти изменения (как справедливо отмечал еще в 2000 году тогдашний председатель Орфографической комиссии РАН В. В. Лопатин) никогда не афишировались, на них специально не обращалось внимания. Это привело к тому, что некоторые из решений, принятых еще полвека назад, до сих пор известны не всем пишущим по-русски. Один из самых ярких примеров — многострадальная зарянка: это написание было утверждено еще в 1974 году очередным изданием «Орфографического словаря русского языка», но до сих пор можно встретить словари и пособия, где предлагается запомнить «исключение» зорянка.

Очень жаль, что издательства, выпускающие подобные издания, не сверяются с современными словарями и справочниками. Ведь теперь работа орфографистов стала максимально открытой. Актуальные написания слов по-прежнему фиксирует академический орфографический словарь, такой словарь издается Институтом русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Но в Институте созданы и регулярно обновляются электронные орфографические ресурсы: «Академос», «Орфографическое комментирование русского словаря». Обращение к ним помогает следить за ходом орфографической мысли и работой над созданием современного академического свода правил русской орфографии.

Если Вы пишете вице-президенту, то будет уместно обратиться к нему по имени и отчеству.

При обращении к нескольким лицам или неопределенному кругу лиц (например, при обращении к посетителям сайта) местоимения вы, ваш пишутся со строчной буквы. Обратите внимание, правильно: ...если оно имело место... (быть - избыточно), см. подробнее.

Однозначный ответ на Ваш вопрос дать сложно. Местоимения 3-го лица он, она корректно употреблять, когда речь идет о лице, не участвующем в разговоре, отсутствующем (это не является признаком неуважения к человеку). Но не тогда, когда человек принимает участие в разговоре. Вот что написано в «Словаре русского речевого этикета» А. Г. Балакая: Употребление местоимения он, она по отношению к собеседникам, без предварительного называния их по имени (имени-отчеству) считается невежливым: говорящий как бы исключает собеседника из общения, демонстрируя тем самым неуважительное к нему отношение.

Так что вопрос заключается вот в чем: можно ли считать Вашу коллегу отсутствующей при разговоре? С одной стороны – да, когда Вы просили коллегу передать ей что-то, то этот разговор шел только между вами двумя, а она находилась в другой комнате и к данному диалогу отношения не имела. А следовательно, формально правила этикета Вы не нарушили. С другой стороны, слыша Ваш голос в телефонной трубке, она «виртуально» все-таки присутствовала при разговоре, поэтому формально у нее был повод обидеться на Вас.

1. В электронном письме "Добрый день" уместно даже в том случае, когда мы точно не знаем, в какое время суток адресат получит сообщение.

2. Если слово "ровно" обозначает "точно", то его использование корректно: ровно 111 километров - значит "111 километров и ноль метров", ровно 12 минут - это "12 минут и ноль секунд".

Также можно использовать "ровно", говоря о круглых числах: ровно 10 минут, ровно 100 километров.

Высказывание построено корректно. Слово последний, отсылающее к слову трапеция, используется в зафиксированном в словарях значении 'такой, который был назван, упомянут после всех остальных или в конце какого-либо перечисления'. Такое употребление слова последний имеет книжный характер и преследует цель избежать повтора того или иного слова. Слово полусумма не приведено в словарях потому, что значение подобных, однотипно построенных слов с повторяющейся первой частью выводится из значения составляющих их частей, которые в словарях даны. Например, о компоненте полу- в словаре сказано, что он вносит значение  'половина чего-либо'.

Ваши рассуждения правильны, верен только вариант управляемость чего (управляемость самолета, управляемость этих процессов).

В «Русском орфографическом словаре» РАН зафиксировано: кеш, кеширование. Правильно написание через Е.

Спасибо за интересное дополнение!