Дело не в том, от каких существительных образованы такие прилагательные, а в том, какую роль они играют в тексте. Выделение слов в тексте с помощью прописной буквы используется для противопоставления собственных и нарицательных имен: нарицательные имена пишутся со строчной буквы, собственные – с прописной. Ср., напр.: лев – Лев, невские берега – Александр Невский, красная шапочка – Красная Шапочка (сказочный персонаж), здоровье – журнал «Здоровье».

Ни первый, ни второй вариант не представляется корректным, к тому же какие-либо стилистические и содержательные особенности текста, в котором словосочетание может быть употреблено, нам не известны. Рекомендуем обратить внимание на то, что выражение уголовное дело является юридическим термином с устоявшимися традициями употребления, в том числе в сочетании с именами существительными; ср. типичные обороты: уголовное дело по статье / по факту / в отношении и т. д.

Сочетание острый как бритва отсутствует в словарях фразеологизмов. Единственный источник, в котором это сочетание приведено в числе устойчивых, — перечень в параграфе 42.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Отмечено, что перечень составлен не только по данным словарей, но и «по наблюдениям над текстами разных жанров». В такой ситуации следует допустить оба варианта пунктуационного оформления — с запятыми и без них. 

Форма управления «доказать о том» является устаревшей, оценивается как просторечная и не соответствует современным нормам русского языка. Хотя на протяжении XIХ — первой трети ХХ века она была распространена: Признаюсь, у меня было сильное желание, чтобы кто-нибудь из сыновей был легко ранен; это бы вернуло его к нам и заодно доказало о добросовестной службе в строю [К. К. Романов. Дневники. Воспоминания. Стихи. Письма (1914)]. 

Действительно, в данном случае вводная конструкция, указывающая на источник сообщения, включает причастный оборот: по гипотезе, предложенной учеными. Знаки препинания внутри вводных конструкций ставятся на общих основаниях. Если автору или редактору представляется, что использование запятых делает предложение недостаточно ясным по смыслу, вводную конструкцию можно оформить как вставку: Примечательно, что гибель Содома — по гипотезе, предложенной учеными, — может быть связана со взрывом астероида над городом Телль-эль-Хаммам.

Слово логарифм пришло к нам из французского языка (фр. logarithme), в котором восходит к греческим словам logos (λόγος) 'слово, понятие, учение' и arithmos (ἀριθμός) 'число'. Получается, что буква а в словае логарифм — это первая буква второго греческого корня. Самое что ни на есть справедливое написание, отражающее историю слова. Поэтому менять орфографию слова логарифм не планируется.

Корректно: прямое и переносное значение слова. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой дана такая рекомендация: «Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единственного числа, если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например в сочетаниях терминологического характера». Это как раз наш случай.