Правильно: Требуется водительское удостоверение водителя, управлявшего автомобилем на момент ДТП. Определительный оборот согласуется с определяемым словом, т. е. ставится в форме того же рода, числа и падежа (водителя какого? – управлявшего, ср.: водителем каким? – управлявшим).

В основу не включают словоизменительные суффиксы (такие, которые служат для образования грамматических форм слов). Например, суффикс -ть в инфинитиве или суффикс -л- в форме прошедшего времени глагола.

При обозначении приблизительного количества сказуемое может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа.

Добыть языка, взять языка (без кавычек) – в этих сочетаниях слово язык употребляется в форме единственного числа.

Конечно, существительное шалаш употребляется в форме множественного числа. Правильно: шалаши.

В форме прошедшего времени глагола слышать сохраняется та же гласная, что и в основе инфинитива (слыша-...).

Окончание -У (Ю) встречается у ограниченного числа существительных в форме локатива (предложного падежа со значением "места действия"): в лесу, в порту, в углу, на боку, в раю и некоторые другие. Причины подробно излагаются в "Википедии".

Правильно: на следующей неделе. Гласная Е пишется в окончании существительных 1-го школьного склонения в форме предложного падежа.

Краткие формы прилагательных и причастий в форме мужского рода пишутся с одной Н.

Пунктуация в приведенном примере верная. О сочетании запятой и тире см. в § 64 раздела Сочетания знаков препинания (Розенталь Д. Э. «Справочник по русскому языку. Пунктуация» М., 2003), где указано, в частности, что в большинстве случаев каждый из этих двух знаков препинания ставится на собственном основании (запятая может закрывать обособленное определение, приложение, придаточную часть и т. д.)