Возможны разные подходы к выделению морфем в слове, отсюда и разные данные в словарях. Нельзя сказать, что один разбор правильный, а другой нет. Корень -вес- с присущим ему значением ощущается в словах занавес, занавеска, занавесить, его выделяют и орфографисты (см. ИПС «Орфографическое комментирование русского словаря»), однако А. Н. Тихонов не включает эти слова в словарное гнездо вешать (см. его «Словообразовательный словарь русского языка»). Он показывает слово занавесить как образованное от занавес, занавесь (занавесить — закрыть занавесью).

Если сочетание неавтоматизированным способом и с использованием средств автоматизации относится к существительному действий (обобщающему перед двоеточием), то нужно закрыть перечислительный ряд тире: Настоящим даю согласие на совершение в вышеперечисленных целях следующих действий с моими персональными данными: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, обезличивание, блокирование, удаление, уничтожение — неавтоматизированным способом и с использованием средств автоматизации.

Если указанное сочетание относится только к существительному уничтожение, знаки препинания перед ним не нужны.

Наиболее подробно вопрос сочетания парного тире, выделяющего вставку, с другими знаками препинания, освещен в примечании 4 к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Примеров, аналогичных Вашему, там не приведено. Исходя из того, что «перед первым тире ставится запятая, если этого требует структура первой части основного предложения», а в данном случае структура того не требует (нет оборотов, которые нужно закрыть), можно рекомендовать не ставить запятую в этой позиции.

Предложение переводчик наотрез отказался воспринимать хоть одну каракулю оттуда представляет собой вставку (вставное предложение). Поскольку в части, предшествующей вставке, нет оборотов, которые необходимо закрыть (обособленных определений, придаточных и т. д.), ставить запятую перед первым тире не требуется, достаточно лишь запятой перед вторым тире: Инструкция была написана не иначе как на сатанинском — переводчик наотрез отказался воспринимать хоть одну каракулю оттуда, — поэтому пришлось убить добрую половину часа на то, чтобы разобраться в сборке самому.

Здесь все зависит от того, с какой глагольной формой связано обстоятельственное сочетание в целях оптимизации кадровой структуры Департамента. Если оно связано с деепричастием руководствуясь, то запятая нужна, чтобы закрыть причастный оборот. Если с причастием утвержденного — запятая не нужна, поскольку в этом случае сочетание входит в причастный оборот. Если же указанное сочетание связано с глаголом внести (изменения), то нужно изменить порядок слов: В целях оптимизации кадровой структуры Департамента, руководствуясь пунктом 25 Положения о Департаменте, утвержденного постановлением Администрации от 08.12.2024 № 25, внести изменения...

В этом вопросе лучше доверять Розенталю (по причине более четкой рекомендации). Глагол "развесить" в значении "повесить по разным местам" характеризуется словарями русского языка как разговорный. Так что в принципе полотна могут быть развешенными, но только в разговорной речи.

ЗОНТ, -а; м.
1.
Приспособление в форме гриба для защиты от дождя или солнца отдыхающих на пляже, работников уличной торговли и т. п.; навес, тент такой формы. Расположиться, торговать под зонтом. Полотняный, цветастый з.
2.
=Зонтик. Женский, мужской з. Дождевой з. Закрыть, раскрыть з. < Зонтовый, -ая, -ое. З-ая ручка.

ЗОНТИК, -а; м.
1.
Ручной зонт (1 зн.). Идти под зонтиком. Выйти из дома с зонтиком. Складной з.
(со складывающимися спицами и ручкой). Автоматический з.; зонтик-автомат
(раскрывающийся при нажатии).
2. Ботан.
Соцветие, состоящее из нескольких цветков на цветоножках, расходящихся лучами от верхушки стебля. З. простой, сложный. З. укропа. < Зонтичный (см.).

Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.

То есть повязка была на голове и закрывала рот? Может быть, так: его рот был закрыт повязкой.