В речи распространены обороты, претендующие на характеристику «плеонастический»: спуститься вниз, подняться наверх, увидеть своими глазами, слышать собственными ушами, взять рукой и т. п. Выражение пристально разглядывать можно отнести к этой же разновидности сочетаний, в которых одно из слов может оцениваться как излишнее, но в то же время сообщает о такой детали в действиях человека, какая автору видится важной. Сравним два вопроса: Что это вы разглядываете? и Что это вы так пристально разглядываете? Без сомнения, это разные по смысловым особенностям вопросы. Именно смысловые отличия высказываний, в которых нет подобных «лишних» слов и в которых они употреблены, служат аргументами в обсуждении их лексического состава. Вывод: оценку словосочетанию следует давать только с учетом контекста высказывания и стилистических особенностей всего текста.

Ответ на Ваш вопрос содержится в статье Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой «Прописные и строчные буквы в собственных именах людей, прозвищах, псевдонимах, кличках: из академических правил русской орфографии». 

«При упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться, — пишут исследователи. — Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, т. е. правомерно написание Мертвая царевна».

Таким образом, вопрос о границах имени собственного решается автором текста. Орфографические правила позволяют современному автору превратить пушкинского ученого кота в своем произведении в Ученого кота.

Написание выровнянная невозможно. Есть слова выровненный (от выровнять – сделать ровным, прямым без изгибов) и выравненный (от выравнять – сделать равным). Ваша дочь написала правильно: выровненная тропинка. Действительно, в причастиях (а также отглагольных прилагательных), образованных от глаголов, оканчивающихся в неопределенной форме на -ать (-ять), пишется а (я), например: привязать – привязанный, настоять – настоянный, посеять – посеянный, развеять – развеянный, валять – валяный.  Но страдательные причастия глаголов -равнять и -ровнять с приставками – исключения, у таких причастий в суффиксах пишется е: выровненный, выравненный, приравненный.

Сочетание разных возрастов ошибочным не является, употреблялось оно и раньше. Вот примеры из художественной литературы: На широкой поляне, окруженной древними дубами и непроходимым ломом, стояло несколько земляных куреней; а между ними на опрокинутых пнях, на вывороченных корнях, на кучах сена и сухих листьев лежало и сидело множество людей разных возрастов, в разных одеждах. А. Толстой, Князь Серебряный (1842–1862). Здесь же, у калитки, на утренней прогулке, семиклассники дожидались проезда ежедневного дилижанса, в котором, вдоль, слева и справа, сидели премиленькие девочки разных возрастов и в разных костюмах. А. Куприн, Юнкера (1932). Все мы, кондукторы, люди разных возрастов, характеров и взглядов, больше всего боялись, чтобы какая-нибудь из этих женщин не нашла при нас родного искалеченного человека. К. Паустовский, Повесть о жизни. Беспокойная юность (1954). Под водительством Касьянки подружки ее, девчонки разных возрастов и калибров, обливают водой длинный тесовый стол, поставленный на три опоры. В. Астафьев, Царь-рыба (1974).

1. Да, такое правило существует, оно подробно описано в "Русской грамматике" (М., 1980). Если кратко, то форма на -У для ряда слов второго склонения соответствует "местному" значению предложного падежа (где - в лесу, в порту, на дому).

2. Это винительный падеж. Цитируем "Русскую грамматику":

Во мн. ч. последовательно выражается принадлежность слов к лексико-грамматическому разряду существительных одушевленных или неодушевленных (см. § 1129). Исключение составляют формы вин. п. одушевленных существительных муж. и жен. р., совпадающие с формой им., а не род. п. мн. ч., в таких сочетаниях, как 1) выбрать в депутаты, поступить в машинистки, пойти в летчики; 2) играть в казаки-разбойники, в дочки-матери, в кошки-мышки.

Примечание. В том случае, если слово, называющее лицо, во мн. ч. не употребляется как название игры, то в сочетании с глаголом играть употребляется форма вин. п., совпадающая с формой род. п., например: играть в казаки-разбойники, но играть в чапаевцев, в космонавтов.

Существует сложившаяся грамматическая традиция рассматривать отрезок -фикация как вторую часть сложных слов (см. например «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С.А.Кузнецова: https://gramota.ru/poisk?query=фикация&mode=slovari&dicts[]=42 ), а -и- — как соединительную гласную (см., например, «Правила русской орфографии и пунктуации» В. В. Лопатина, § 66: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/bezudarnye-soedinitelnye-glasnye).

Отрезок -фик- является заимствованным связанным корнем, который не употребляется без суффиксов, встречается только в сложных словах, является вторым компонентом этих слов. Слово образовано от глагола электрифицировать с помощью суффикса -аци[j]- с чередованием в корне к // ц, ср.: газифиц-ирова-ть→ газифик-аци[j-а]. В процессе словообразования происходит усечение суффикса производящей основы -ирова-. В словаре А. Н. Тихонова слова со связанными корнями рассматриваются как непроизводные с точки зрения синхронических процессов в языке, поэтому анализ структуры некоторых слов расходится с другими источниками.

1. О случаях постановки тире после союза и, соединяющего два однородных сказуемых, говорится в параграфе 12.3 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, сравним приведенные там примеры: Так я это  всё рассудил и — вдруг  совсем решился (Дост.); Проси в субботу расчёт и — марш  в деревню (М. Г.). Тире после союза и указывает на внезапность, неожиданность наступления действия, названного вторым сказуемым, либо усиливает противопоставление однородных сказуемых. Насколько уместно противопоставление сказуемых знала и не любила видеть в данном конкретном случае — судить автору и читателю.

2. С таким пунктуационным оформлением невозможно согласиться. Конечно, можно счесть слово либерал именительным темы, но в этом случае в позицию подлежащего попадет указательное местоимение это, а между таким подлежащим и сказуемым-существительным (в данном случае гриб) тире не ставится. Корректные варианты оформления высказывания: Либерал — это тот самый поганый сухой гриб, который...; Либерал! Это тот самый поганый сухой гриб, который...

Слова казалось бы и конечно относятся к группе вводных слов, выражающих «оценку говорящим степени достоверности сообщаемого — уверенность, предположение, возможность, неуверенность и т. д.» (формулировка из параграфа 25.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Оценка чего-либо — часть отношения к чему-либо, поэтому характеристика слов казалось бы и конечно как выражающих «отношение говорящего к высказыванию» не ошибочна. Вместе с тем она неточна, поскольку «отношение говорящего к высказыванию» может выражаться вводными словами, указывающими не только на достоверность сообщаемого, но и на эмоции (к сожалению), способ выражения мысли (иными словами) и т. д. 

Не вполне корректно сформулирован вопрос. Не бывает «чего-то одушевленного» и «чего-то неодушевленного». Эта грамматическая категория принадлежит именам существительным, а не предметам или живым существам, которые ими обозначаются. Категория одушевленности имеет косвенную связь с понятиями живого/неживого, но это связь именно косвенная, не прямая, — уже хотя бы потому, что сложилась эта категория в глубокой древности, когда представления наших далеких предков о живом/неживом были в значительной степени отличными от представлений современного человека. В некоторых случаях одушевленность имени существительного вызывает у современного человека удивление (ср. классический пример: кукла). В некоторых случаях слова-синонимы противоположным образом относятся к одушевленности (снова классические примеры: покойник и труп). Примеры можно продолжать, тем более что в современном языке некоторые существительные колеблются по отношению к одушевленности/неодушевленности (ср. микроб).

Имя человека в любом случае представляет собой существительное одушевленное — независимо от того, именуют им реального человека, или выдуманного героя романа, или сам роман, или оперу. То, что оно служит названием оперы, не может превратить его в неодушевленное существительное.