Рекомендуем от критерия «правильнее» перейти к критерию «точнее». В современной речи наблюдается варьирование предлогов в и на при употреблении с наименованиями медийных интернет-ресурсов разного типа. При выборе роль может играть то, каким представляется интернет-ресурс в его самом общем, категориальном виде, например как объемное пространство, в котором что-либо находится, происходит и в которое можно войти. Выбор предлога на может определяться представлением о том, что интернет-ресурс подобен платформе, площадке, на которой что-либо происходит, и в этом случае актуальна ассоциация с какой-либо поверхностью. Что касается предложений, в которых отсутствует родовое слово (сервис), то выбор предлога здесь уже предопределен: он такой же, как в полной фразе.

Документы есть. Например, на сайте Ассоциации учителей русского языка и литературы:

http://uchitel-slovesnik.ru/documents/

В данном случае можно поставить дефис, тем самым обыграв "железнодорожные" ассоциации. Но это будет именно индивидуальное употребление.

Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.

Ассоциации – личное дело спорщиков. Обратимся лучше к словарям!

Слово яичко вполне может употребляться как уменьшительное к сущ. яйцо; это первое и главное значение данного многозначного слова. А вот значение "помещающаяся в мошонке парная мужская половая железа" характеризуется словарями как "специализированное", то есть неосновное для всех носителей языка (неспециалистов в области анатомии).

В СМИ примеры такого рода действительно встречаются, например: "Минкультуризма Калининградской области объявляет о проведении ежегодного конкурса" (https://39rus.org/news/society/69618); "Минкультуризма. Прогулки по писательским местам Подмосковья" (https://xn--80ahcnlhsxj.xn--p1ai/collection/11159/). Но мы совершенно согласны с тем, что подобное сокращение нежелательно, так как вызывает курьезные ассоциации. 

Море слёз — метафора. Метафора — это переносное значение слова или выражения на основе сходства, ассоциации. В данном случае слово море употреблено в переносном значении для обозначения большого количества слёз. Однако, учитывая, что подразумевается преувеличение количества, можно говорить о наличии у этой метафоры черт гиперболы. Но основным в данном выражении остаётся метафорический перенос.

Географические названия, оканчивающиеся на -ы, обычно склоняются (даже если топоним не самый известный), по ассоциации с формами множественного числа. В «Словаре грамматических вариантов русского языка» Л. Граудиной, В. Ицковича, Л. Катлинской зафиксировано: Саулкрасты – в Саулкрастах (также: Дубулты – в Дубултах).

Но в русском языке есть и несклоняемый вариант передачи этого названия – в форме Саулкрасти. Такая фиксация – в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко.

Говорить о правильности с точки зрения русского языка не приходится, поскольку такого  способа образования названий в русском языке нет, это ярко выраженный англицизм, ср.: Royal Group, Rover Group. Нет в русском языке и самого слова груп (групп): это не производное от группа, а калька с английского group. Добавим, что такое название неизбежно будет перекликаться с вполне русским словосочетанием Иванов груб (ибо груб произносится как [груп]) и вряд ли вызовет положительные ассоциации. Так что яхту лучше назвать по-другому.