Возможны оба варианта употребления: и в единственном, и во множественном числе (в ближайших окрестностях Солнца или в ближайшей окрестности Солнца), в зависимости от того, разные пространства имеются в виду или одно. Ср.: сотни звезд из близких окрестностей Солнца, но взрыв сверхновой в ближайшей окрестности Солнца.

В словообразовательном словаре А. Н. Тихонова указан суффиксальный способ образования слова безлюдье от прилагательного безлюдный (существительное образовано при помощи суффикса -j-). Версия приставочно-суффиксального способа имеет право на жизнь, если предполагать, что слово безлюдье образовано напрямую от слова люди при помощи приставки без- и суффикса -j-.

Графические сокращения используются везде, где целесообразна экономия места (яркий пример - печатные словари и энциклопедии). Не используются там, где скорость чтения (восприятия) текста важнее, чем экономия места. Причем использовать следует лишь общепринятые способы сокращения слов, заботясь о том, чтобы сокращенные слова могли быть легко восстановлены читателем.

ТАКОВОЙ, -ая, -ое. местоим. прил. Офиц.
Употр. вместо существительного, упомянутого выше. Не купили билета за отсутствием такового. Не встретили поезд по причине неприбытия такового. < Как таковой, в функц. опр.
Взятый сам по себе, безотносительно к чему-л. другому. Вопрос важен как таковой. Любовь как таковая меня не интересует.

Верно все же: варено-мороженые.

Здесь верно: не досмотрел (поскольку у глагола недосмотреть, пишущегося слитно, иное значение). В остальных случаях: не доиграл мелодию, не дослушал песню.

Варианты равнозначны, но придраться, к сожалению, могут.

Рекомендуем в названии писать слитно, а в остальных случаях — с дефисом, согласно современным нормам.

Кавычки будут уместны (помогут читателю понять, что восклицательный знак является частью названия), однако их отсутствие не следует считать ошибкой.

Это сравнительные обороты, они выделяются запятыми. Обратите внимание, что слово чирлидинг пишется через и.