Здесь ставится тире в функции соединения, кавычки в подобных конструкциях не нужны: наработать связь рука — мозг.
Это слова среднего рода. Род аббревиатур определяется по опорному слову в словосочетании. В данном случае это слова агентство и министерство.
Можно использовать кавычки, читателю в этом случае будет легче воспринимать текст.
Все названия нужно оставить в начальной форме.
Да, склоняются: документ выдан Аке.
Верно: рука осталась парализованной.
Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль.
Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь – вырезать. Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).
