Игра года — это номинация, а не звание. Корректно: победитель конкурса в номинации "Игра года".
Как можно судить по свидетельствам в интернет-источниках, выражение играть на побитка используют, когда говорят о спортивной игре, в которой победитель очередной партии остается на поле «боя» и соревнуется с новым соперником.
Нормативными словарями современного русского литературного языка глагол встрекотать не зафиксирован, однако с грамматической точки зрения он вполне корректен и изредка встречается в художественных текстах, например: Встрекотал кузнечик звонкий; / Ветка хрустнула сухая, / Любопытный олененок / На поляну робко вышел (Сергей Клычков. Мадур-Ваза победитель. 1966).
Производность — это отношение между двумя однокоренными словами, значение одного из которых либо 1) определяется через значение другого (дом → домик (‘маленький дом’), победить → победитель (‘тот, кто победил’)), либо 2) тождественно значению другого во всех своих компонентах, кроме грамматического значения части речи (быстрый → быстро, бежать → бег, белый → белизна).
Например: весёл-ый — непроизводное слово, от которого образованы:
→ весел-о (тождественно по значению, но относится к другой части речи);
→ весел-[j]-е (существительное с отвлеченным значением признака ‘весёлый’);
→ весел-и-ть (делать весёлым) → веселить-ся (общевозвратное значение: обозначает действие, которое говорит о внутреннем состоянии (‘весёлый’) субъекта или субъектов);
→ весел-е-ть (становиться весёлым).
Показатель возвратности -ся в русском языке имеет, помимо упомянутого Вами рефлексивного употребления (в предложениях типа Кот умывается), еще ряд употреблений, например пассивное, как в предложениях Дом строится или Победитель награждается. Среди других употреблений -ся — взаимное (Влюбленные целуются), рефлексивно-бенефактивное (Запасся дровами), объектно-имперсональное (Собака кусается) и некоторые другие (подробно об этом см., например, ресурс «Русграм»).
В неспециальных текстах названия сортов растений, овощей, фруктов заключаются в кавычки и пишутся со строчной буквы (в том числе и имена собственные): клубника «виктория»; помидор «иосиф прекрасный»; яблоки «пепин литовский», «бельфлёр китайский», «шафран-китайка».
В специальной литературе в названиях сортов растений, овощей, фруктов, цветов первое слово (и все имена собственные) пишется с прописной буквы: крыжовник Слава Никольска, малина Мальборо, земляника Победитель, смородина Выставочная красная, яблоня Китайка золотая ранняя, слива Никольская белая, роза Мария-Луиза, фиалка Пармская, тюльпан Чёрный принц.
Решение о постановке знака принимает автор текста.
Это непростой вопрос. Казалось бы: глагольные фразеологизмы, как и любые фразеологизмы, описываются во фразеологических словарях. Но вот, скажем, принять участие и дать слово имеются во «Фразеологическом словаре русского литературного языка» (в 2 т.) А. И. Федорова (Новосибирск, 1995), но только в устаревших значениях, в которых они сегодня не употребляются. Правда, словосочетания принимать участие, играть роль, одержать победу, дать слово фиксируются во «Фразеологическом словаре современного русского литературного языка» под редакцией А. Н. Тихонова (в 2 т.; М., 2004), авторы которого придерживаются широкого понимания фразеологии, понимая под фразеологизмом любое сочетание слов, имеющее образное значение.
В представлении же большинства лексикографов главный критерий фразеологичности — некомпозициональность значения: смысл фразеологизма невозможно представить как сумму значений (композицию) его компонентов. Во всех четырех приведенных Вами примерах лексическое значение глагола ослаблено, полустерто. Мы не задумываемся, что значит «одержать», когда говорим одержали победу. Мы не представляем себе действия по глаголу дать в буквальном смысле, когда говорим дал слово. Но при этом мы приблизительно понимаем, что победить = одержать победу в том смысле, что победитель как бы берет победу в свои руки, «держит» ее. Дать в случае дал слово используется действительно в значении некоторой передачи кому-то чего-то, только это что-то — не конкретный предмет, а информация.
На этом основании можно говорить, что фразеологичности в этих сочетаниях нет, и называть их или неделимыми глагольными сочетаниями, или аналитическими глаголами.
