Да, в разговорной речи такое употребление корректно.

«Сделаем поверку сему исчислению», — находим у А. Н. Радищева. В романе И. А. Гончарова «Обломов» читаем: «Она поглядела на него молча, как будто поверяла слова его, сравнила с тем, что у него написано на лице, и улыбнулась: поверка оказалась удовлетворительною». А что вышло на поверку? — можно вспомнить и это выражение. Слова поверить, поверка известны давно, но в современной речи чаще всего употребляются в качестве технических терминов. Едва ли стоит устанавливать запреты на использование этих слов, только следует принять во внимание, что отнюдь не всегда они могут быть знакомы собеседникам.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Глагол молсать ‘сосать’, ‘глодать’, от которого образовано это существительное, включен в «Словарь русских народных говоров» (Вып. 18. Л., 1982. С. 248).

Вы правы. Варианты остыть и остынуть в словарях фиксируются как равноправные. Но важно помнить, что в формах прошедшего времени суффикса -ну- быть не должно: щи остыли (не остынули).

Неправильно. Глагол обойтись в значении 'стать в какую-либо цену' употребляется с предлогом в: обойдется примерно в 30 тысяч рублей. Корректен и такой вариант: Ремонт будет стоить около 30 тысяч рублей.

Традиционно при описании движений головы в ситуации, когда человек выражает свое несогласие с чем-либо или с кем-либо, используют обороты с глаголом мотать: он отрицательно мотал головой, она опровергающе замотала головой. 

Глаголы встать и стать совпадают в некоторых значениях, в том числе в значении «перестать действовать или двигаться». Сочетания стройки станут и стройки встанут совершенно корректны, при этом синонимичны.