Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Союз и соединяет однородные сказуемые, запятой перед ним быть не должно. И в академических изданиях Пушкина ее нет. См.: Пушкин А. С. Дубровский // Пушкин А. С. Полное собрание сочинений: В 10 т. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1977—1979. Т. 6. Художественная проза. — 1978. — С. 142—209 и в электронном виде на портале «Фундаментальная электронная библиотека».

Слово интервью не характеризуется разнообразным лексическим окружением. Попробуйте привлечь тематически близкую лексику и обозначить нужный нюанс с помощью других фраз; ср.: темы и идеи вашего интервью, о чем рассказать в интервью, как подготовиться к интервью, готовимся к интервью, самое важное в вашем интервью, поговорим об интервью, интервью на личные темы, отвечаем на вопросы интервью.

Запрета на продолжение предложения после формул приветствия (Добрый день, Здравствуйте, Привет и т. д.) нет, но с коммуникативной точки зрения уместно закончить предложение, потому что формула приветствия представляет собой отдельный речевой акт, с особой коммуникативной целью — установить контакт с адресатом. Дальнейший текст имеет другую коммуникативную цель, в Вашем примере — информировать адресата о чем-либо.

Запятая не требуется. Предлог после означает, что сначала будет передана информация, а потом будет изменен договор. Предлог при может означать, что предоставление информации и внесение изменений произойдут одновременно.

Также следует обратить внимание, что в этом случае, скорее всего, нужно написать после предоставления информации. В значении "проинформировать" следует писать: предоставить информацию. Но: наглядно представить информацию в виде графиков.

Если текст в скобках не отделен от абзаца, то точку обычно ставят после скобки: ...и я его очень любила (по тексту "Дневника" Юлии Петровой).

Но, поскольку в Вашем случае источник цитаты указывается на следующей строке (как, например, в эпиграфе), рекомендуем поставить точку после цитаты, а после скобок не ставить:

...и я его очень любила.

(по тексту "Дневника" Юлии Петровой)

При сокращении цитаты, уже имеющей многоточия, выполняющие те или иные свойственные им функции, многоточие, поставленное автором, цитирующим текст, указывающее на сокращение цитаты, заключается в угловые скобки. Это единственный случай использования угловых скобок.

Знак конца предложения (в Вашем случае - точка) ставится, если цитата не является самостоятельным предложением (включается в предложение как его члены и начинается со строчной буквы).

Наречие насмерть и правда пишется слитно, например: сражен пулей насмерть, стоять насмерть, перепугаться насмерть. Но в выражении не на жизнь, а на смерть правильно раздельное написание (как сочетание предлога с существительным), что закреплено, например, в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой (4-е изд. М., 2012). Так что Ваша дочь написала правильно.

Согласиться с Вашей аргументацией — значит согласиться с неверными посылками. В системе безопасности глагол авторизовать обозначает процедуру, суть которой не сводится к простому суждению «предоставить доступ». Сочетаемость глагола авторизовать не может приравниваться к сочетаемости слова доступ. Вопрос куда? предполагает обсуждение направления движения в некое место. Резюме: кого-нибудь отправить в аккаунт можно, но авторизовать его следует в аккаунте.

В Вашем предложении запятые не нужны. Но нужно исправить запись приобретение комплекта Клавиатура+мышь Acer. Если в ней дано официальное название, то оно должно быть заключено в кавычки: приобретение комплекта «Клавиатура+мышь» Acer или «Клавиатура+мышь Acer». Если это сочетание – не название, то лучше слова в нем согласовать, например, так: приобретение комплекта из клавиатуры и мыши Acer.