Название города Харабали несклоняемое, см. «Словарь имен собственных».

Чтобы избежать повтора предлога, лучше перестроить предложение, например, так: Мы вас записали на вторник, на 15 июля. Прием в 12:30.

См. «Словарь трудностей». Эти конструкции синонимичны, однако форма по подписании употребляется в официально-деловой речи, а вариант после подписания общеупотребительный.

Сочетание близки друг другу — наиболее вероятное в этом случае. Обратимся к цитатам: «И когда он рассказывал мне о своей жизни, мне казалось, что мы уже давно знакомы и близки друг другу» [Н. С. Покровская. Дневник русской женщины (1932)]; «Юра даже не успел толком понять, так ли уж они близки друг другу» [Анна Берсенева. Возраст третьей любви (2005)]; «Они со школы еще — вроде близки друг другу, но каждый слишком был сам по себе» [И. Н. Вирабов. Андрей Вознесенский (2015)]. Другие примеры можно найти в Национальном корпусе русского языка.

Если речь идет о технической стороне создания письменного текста, то можно допускать, что в некоторых контекстах незначимы различия процесса печатания и процесса набора текста с помощью новейших устройств, а соответственно, глаголы печатать и набирать предстают как взаимозаменяемые. В других случаях тонкости технического процесса, например связанные с размером клавиатуры, типом устройства, особенностями самого текста, могут предопределять выбор конкретного, «правильного» глагола. 

Предпочтительно писать без кавычек, так как это общепринятое сокращение для названия института. Графическое оформление принятого названия не поменяется от того, что институт стал коммерческой организацией.

Если нужно выразить сравнение и устранить неоднозначность, лучше использовать другой сравнительный союз, например: …носили, словно оберег, в кармане у самого сердца. Если нужно выразить значение ‘в качестве’, можно изменить предложение: …их читали и перечитывали, считали оберегом, носили в кармане у самого сердца.

Варианты окончания творительного падежа мн. числа -ами (-ями) / -(ь)ми в древности принадлежали разным типам склонения имен существительных. Однако после унификации склонения существительных во множественном числе для всех слов нормативным стало окончание -ами (-ями). И лишь у нескольких слов в современном русском языке возможно окончание -(ь)ми. У слова дети форма детьми единственно возможная. В парах дверями — дверьми, лошадями — лошадьми, дочерями — дочерьми возможны оба варианта, причем более употребительно окончание -(ь)ми. У слова звери предпочтительным считается форма зверями; вариант зверьми рассматривается как устаревающий. Кроме этого, у слов кость и плеть при нормативных формах костями, плетями формы на -(ь)ми сохраняются в устойчивых сочетаниях лечь костьми, бить плетьми.