1. Возможны варианты пунктуации в зависимости от смысла: С 2001 года социально-экономическая ситуация в республике характеризуется отставанием от среднероссийского уровня прежде всего по объему инвестиций в основной капитал на душу населения или С 2001 года социально-экономическая ситуация в республике характеризуется отставанием от среднероссийского уровня, прежде всего по объему инвестиций в основной капитал на душу населения.

2. Кризисные последствия более существенно, чем по стране, отразились на республике.

3. Главным фактором стало понижение спроса на мировых рынках (и, соответственно, цены) на данные товары.

4. Сельскохозяйственная деятельность региона представлена главным образом молочным животноводством.

Предложение корректно. Оборот к услугам кого-либо устойчиво употребляется как выражение, говорящее не только о чьей-либо готовности быть полезным кому-либо, но и о готовности чего-либо. Ср.: Дом мой к вашим услугам. На Дворцовой набережной, дом Баташева у Прачечного моста (А. С. Пушкин); На газонных площадках были приготовлены к услугам гостей различные игры: в серсо, волан, бильбоке (М. Волконский. Сирена. 1903); Я от графа Шувалова, его сиятельство просит вас немедленно прибыть в Миллионную по чрезвычайно важному делу. Экипаж к вашим услугам, ждет внизу (Л. Юзефович); «Всё судно к вашим услугам», — вежливо ответил Карпов (В. Аксенов).

Ваше наблюдение верное: предложное сочетание тренер по (чему-либо) включает существительное, обозначающее вид спортивной деятельности. Очевидно, что выражение тренер по вратарям к такому ряду номинаций не относится. По сравнению с ним, словосочетание тренер вратарей и в смысловом, и в грамматическом отношении совершенно корректно. Однако это словосочетание не передает ясно и отчетливо ту идею, какая объединяет сочетания с предлогом по, — идею специализации тренеров, их профессионального деления с учетом конкретной практики. При необходимости обозначить специализацию (важный аспект в профессиональной коммуникации) выручают нестандартные обороты, такие как тренер по вратарям (ср. также в бизнес-среде тренер по персоналу).

Ответить на Ваш вопрос мы попросили д. ф. н. М. Я. Дымарского.

Сказуемое здесь — остаются при своем мнении. Грамматически это составное именное сказуемое, в котором остаются — полузнаменательная связка, а именная часть выражена устойчивым словосочетанием при своем мнении. Действительно, оставаться при своем мнении считается фразеологизмом: так, в пособии "Словарь русской фразеологии. Историко-этимологический справочник" (авторы А. К. Бирих, В. М. Мокиенко, Л. И. Степанова; СПб., 1998) читаем:

«МНЕНИЕ. Оставаться при своем мнении. Не изменять своего мнения. Калька с лат. in sententia manere. Выражение восходит к словам <...> Цицерона».

В «Справочнике по фразеологии» эта версия приведена как наиболее распространенная. О том, как она появилась, почему она уязвима и какую версию ей следует предпочесть, подробно рассказано в статье известного современного специалиста по истории фразеологии Валерия Михайловича Мокиенко (в ответе мы давали ссылку на нее). Автор здесь доказывает, что в этом выражении используется слово нос ‘часть лица’, но оно переносно означает своеобразную бирку, на которую для памяти наносятся зарубки (такие бирки действительно были широко распространены). Само выражение зарубить на носу В. М. Мокиенко называет типичной фразеологической метафорой.

• Справочники рекомендуют писать названия марок автомобилей в кавычках с прописной буквы: автомобили «Волга», «Вольво», «Ниссан», «Шкода», а названия самих автомобилей как технических изделий – со строчной буквы в кавычках (кроме названий, совпадающих с собственными именами – личными и географическими). Например: «кадиллак», «москвич», «тойота», «ниссан»,  но: «Волга», «Ока» (совпадают с именами собственными, поэтому пишутся с большой буквы). Исключения: «жигули», «мерседес» (совпадают с именами собственными, но пишутся со строчной). Однако на практике различить, в каком случае наименование представляет собой название марки автомобиля, а в каком – наименование технического изделия, часто представляется затруднительным: Всем автомобилям он предпочитает «Тойоту» / «тойоту». В спорных случаях решение о написании с прописной или строчной буквы принимает автор текста.
• Названия, написанные латиницей, в кавычки не заключаются: автомобили Toyota Yaris, Peugeot 306, Daewoo Matiz, Škoda Fabia, Lada Priora.
• Неоднословные названия (марка и модель автомобиля), написанные кириллицей, пишутся через дефис, при этом все части наименования пишутся с прописной буквы: «Лада-Приора», «Тойота-Королла», «Рено-Меган», «Ниссан-Теана», «Хёндай-Гетц», «Ниссан-Альмера-Классик», «Сузуки-Гранд-Витара». Но: «Фольксваген-жук» (перекличка с нарицательным существительным).
• Аббревиатурные названия пишутся без кавычек: ЗИЛ, ВАЗ, КамАЗ.
• В бытовом употреблении названия средств передвижения пишутся без кавычек, например: Приехал на стареньком москвиче (на роскошном кадиллаке). Без кавычек пишутся также разговорные названия машин с уменьшительно-ласкательными суффиксами, напр.: москвичок, фордик, уазик.

Два нарицательных существительных, выражающих родовое и видовое понятия в классификации природных объектов, пишутся раздельно. Ср.: птица иволга, рыба треска, дерево ольха, цветок роза, минерал лазурит, металл литий.

В справочниках по правописанию рекомендуется отличать такие сочетания от сочетаний типа птица-носорог, рыба-попугай, в которых названием является сочетание целиком, поскольку носорог — не птица, а попугай — не рыба. Подобные составные наименования пишутся через дефис.

Сочетание лен-долгунец занимает промежуточное положение между приведенными группами. С одной стороны, компоненты находятся в родо-видовых отношениях, с другой — представляют собой устойчивое наименование. Слово долгунец редко употребляется как самостоятельное название льна в отличие от слова стерх, которое часто используется для называния журавлей. 

«Объяснительный словарь русского языка. Структурные слова» под ред. В. В. Морковкина характеризует эти слова так.

До свидания авторы относят к междометиям.

Пожалуйста как ответ на извинение или выражение благодарности – междометие (Мне пора, спасибо за чай. – Пожалуйста), при употреблении для придания вежливого характера просьбе, выражения вежливого разрешения – частица (Пожалуйста, проходите. Разрешите пройти. – Пожалуйста.)

«Этикетное» спасибо (например, произнесенное для выражения благодарности) – междометие (Спасибо за помощь). Еще есть частица спасибо, она употребляется для выражения удовлетворения наличием чего-либо, пусть малого, но спасительного (Деньги забыл дома. Спасибо, встретил Петра, выручил до завтра). Спасибо может быть вводным словом (Аня, спасибо ей, выручила вчера) и существительным (работать за спасибо).

Оба варианта возможны. Сочетание в этой связи просторечным не является (см. его фиксацию в словарях: Правильность русской речи / Под ред. С. И. Ожегова. М., 1965, с. 184; Трудности словоупотребления и варианты норм русского литературного языка / Под ред. К. С. Горбачевича. Л., 1974, с. 401; Большой толковый словарь / Под ред. С. А. Кузнецова. СПб., 1999, с. 1164). Соответствуя норме современного русского литературного языка, это устойчивое cочетание употребляется как наречие со значением 'связывая со сказанным выше' и служит своеобразной формулой перехода от одной мысли к другой.

Важно иметь в виду, что выражение в этой связи характерно прежде всего для публицистики.