Не вполне ясно, как можно мыслить фактами, если под фактом, как известно, понимается событие, происшествие, случай и т. п. Может быть, речевой оборот оперировать фактами способен выразить авторскую мысль?

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

В этом заголовке слово путешествуя совершенно точно является деепричастием: оно называет дополнительное действие по отношению к основному действию, названному глаголом жить. При этом есть правило, согласно которому деепричастный оборот не обособляется, если он тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, например: Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М. Г.), Старик шёл прихрамывая на правую ногу и т.  п. Однако заголовок Жить (,) путешествуя не представляет собой предложения, и оценить, образует ли деепричастие смысловой центр высказывания, здесь едва ли возможно. Это аргумент в пользу постановки запятой. Сравним пример предложения, в котором деепричастие играет особую коммуникативную роль и не обособляется: Это здорово — жить путешествуя!

В этом предложении оборот с союзом как — сравнительный оборот, что отчетливо видно, если изменить порядок слов: Я пытаюсь, как дурак, догнать тебя. Дело, видимо, в том, что смысл предложения прежде всего в попытке догнать, а не в характеристике этой попытки. 

Поскольку в п. 1 речь идет о схеме расположения, то корректно: указанной. Однако предложение следует переформулировать, покольку при таком порядке слов (Образовать земельный участок из земель, государственная собственность на которые не разграничена, площадью 1822 кв.м, в соответствии со схемой расположения земельного участка на кадастровом плане территории, указанной в пункте 1 настоящего постановления) оказывается, что определительный оборот относится к слову территория. Кроме того, формулировка п. 1 грамматически бессмысленна. 

В этих предложениях запятая не нужна, так как оборот с союзом как тесно связан со сказуемым, то есть сказуемое без него не имеет законченного смысла.

В этих предложениях оборот с союзом как выделяется запятой, потому что он указывает на причину: как профессиональный фотограф = «поскольку я профессиональный фотограф», как владелец счета = «поскольку я владелец счета», как врач = «поскольку я врач». В других контекстах оборот с союзом как может обозначать «в качестве кого-либо» и не обособляться, сравним: Как профессиональный фотограф я хочу загружать фото в высоком разрешении, а как пользователь сайта я понимаю, что с этим много хлопот. 

Если принять во внимание речевую практику, то нетрудно убедиться, что сочетания с однокоренным глаголом обычно представляют собой соединения типа практиковать подходы, методы, модели. Позицию зависимого существительного занимают и конкретные наименования существующих подходов, методов и моделей: практиковать умеренность в еде / слежку / медитацию / шефство / бартер и т. п. Ясно, что речь идет о каких-либо вполне определенных практиках (получается: практиковать практику). Это подводит нас к тому, что выражение практиковать язык допустимо толковать в таком же ключе и под «языком» понимать некую модель, некий сложившийся тип или формат использования языка. Логично вставить в такой оборот уточняющее определение и щеголять фразами вроде практиковать свой английский язык в поездке за границу. Безусловно, ни о какой синонимичности оборотов практиковать язык и практиковаться в языке (то же с другими зависимыми словами) говорить не приходится. Грамматические различия существенны, и смысловые отличия несомненны.

В первом случае запятая поставлена потому, что причастный оборот стоит после определения-прилагательного тонкостенной и перед определяемым словом утробе (т. е. разрывает непосредственную связь прилагательного и существительного). Во втором случае запятая не требуется, поскольку причастный оборот стоит перед определением-прилагательным и относится к следующему затем сочетанию определения-прилагательного и определяемого слова: Вертолёт незаметно набрал высоту над хребтами, и в его звеневшей кастрюльным набатом тонкостенной утробе стало холодно. См. параграф 38 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Оборот с предлогом в качестве не требует обособления, если только он не имеет дополнительного обстоятельственного значения, например: В качестве крупнейшей в мире нефтедобывающей страны, Россия существенно влияет на рынок нефти (= «поскольку она крупнейшая в мире нефтедобывающая страна»), но В качестве крупнейшей в мире нефтедобывающей страны Россия известна уже давно.