Поскольку цитата не представляет собой законченного предложения, тире не требуется: Спорт и закалка «помогает сохранить крепкое здоровье», учит наш тренер. 

Наименование Агидель зафиксировано в "Словаре собственных имен русского языка" Ф. Л. Агеенко (М., 2010): Агидель, -я (гор., Башкирия, РФ). 

Точка в конце цитаты не ставится: Поэт в стихотворении «Камыши» («Полночной порою в болотной глуши / Чуть слышно, бесшумно, шуршат камыши») использует повторение согласных для воспроизведения звуков.

Сочетание «разумный взгляд» вполне корректно. См., например: Последний прилег было, одетый, отдохнуть и тотчас забылся, стал бредить и с совершенно как будто разумным взглядом говорил непонятные фразы... [А. В. Амфитеатров. Жар-цвет (1895)]; То была маленькая девочка с не по-младенчески разумным взглядом [Э. Г. Казакевич. При свете дня (1960)]; И вдруг она открыла глаза и посмотрела на нас совершенно ясным, разумным взглядом[Борис Ефимов. Десять десятилетий (2000)] и т. п.

Грамматически корректным способом связи синоптиков с содержанием их высказываний будет использование косвенной речи (Синоптики сообщают, что метеорологическое лето...) или вводной конструкции (Как сообщают синоптики, метеорологическое лето...). Вместе с тем в практике интернет-СМИ весьма распространены заголовки типа Метеорологическое лето закончится 22 сентября — синоптики (обычно в этих случаях запятая перед тире не ставится). Такое оформление грешит аграмматичностью.

Если девиз приводится дословно, то это цитата: Наш девиз: «Стиль, доступный каждому».

Запятая перед открывающей кавычкой нужна: По версии следствия, новосибирец из мести поджёг парикмахерскую, где работала его жена, «с которой у него в результате конфликта сложились личные неприязненные отношения».

«Ошеломить» выполняет функцию приложения к существительному слово, цитата «ударить противника так, чтобы он, потеряв сознание, упал и мог быть взят в плен» замещает позицию дополнения при глаголе означало.

Безусловно, высказывания со словами и сочетаниями, обозначающими мыслительную деятельность, типа Исходя из показателей в отчетной книге за 2030 год, можно сделать вывод, что предприятие работало в убыток, более правильны, чем высказывания без этих слов и сочетаний, типа Исходя из показателей в отчетной книге за 2030 год, предприятие работало в убыток. Вместе с тем однозначно ошибочными высказывания второго типа считать нельзя. Здесь мы имеем дело с так называемыми асимметричными конструкциями, в которых число частей не соответствует числу ситуаций. Сравним пример, приведенный в учебнике «Современный русский язык» под ред. Е. И. Дибровой (М., 2008, с. 427): Если хотите купить хлеба, то булочная направо. Сравним развернутый вариант: Если хотите купить хлеба, то (имейте в виду, знайте, что) булочная направо. 

В данном случае запятая после цитаты не требуется. Дело в том, что вся цитата целиком является в предложении несогласованным определением: ба со словами (какими?) стряхнула...