Прилагательное недоступна пишется слитно. На написание не с прилагательными, в отличие от причастий, не влияет краткая форма и (или) наличие зависимых слов.

Смысловые особенности конструкции включая, но не ограничиваясь исчерпывающе обсуждаются в ответах нашей справочной службы. Если в конструкции имеется компонент не ограничиваясь, то ее толкование однозначно (перечень не закрыт, допустимо включение в него других элементов). Если в конструкции этот компонент отсутствует и имеется только включая, то вести речь о том, что еще и идея ограниченности выражена, не следует. Такой смысловой признак должен быть обозначен дополнительно, соответствующими лексемами. 

Судя по практике письма и примерам из справочников, решающий фактор необособления сравнительного оборота состоит в том, что без него сказуемое не может выразить нужный смысл, действительно как в случае 1. Смысловая значимость какого бы то ни было оборота подчеркивается порядком слов: оборот находится в ударной позиции, то есть после сказуемого и в конце предложения (или в конце части сложного предложения); в случае 4 такого не наблюдается.

У глаголов с ударными личными окончаниями тип спряжения определяется по окончаниям, и совершенно не имеет значения, какой гласный в инфинитиве. Вы правы: в школе обычно говорят только о глаголах с безударными личными окончаниями и опускают вторую часть правила – о том, что у глаголов с ударными личными окончаниями тип спряжения определяется по окончаниям. Это связано с тем, что определять тип спряжения надо только для того, чтобы правильно писать безударные личные окончания, больше никакого практического смысла в определении типа спряжения нет. А если личные окончания ударные, то никаких трудностей в написании они не вызывают, а следовательно, не надо думать о том, к какому типу спряжения относится глагол. См. также рубрику «Горячие вопросы».

"Официально" падежей шесть. Но, поскольку существуют разные критерии выделения падежей (от смысловых до формальных), то и падежей может быть выделено больше или менше (как, например, и частей речи). Существующее в русской школьной и академической традиции "шестипадежие" русского языка, конечно же, очень условно, но именно оно является сегодня общезначимым для лингвистической науки и наиболее эффективно описывает систему русского именного словоизменения для носителей языка. Как лучше описать эту систему иностранцам - другой вопрос, и его решение сильно зависит от грамматического строя иностранного языка, на котором производится описание.

Иными словами, вопрос не в том, "сколько на самом деле падежей", а в том, как нам удобнее описывать грамматический строй языка, сообразуясь с нашими потребностями.

Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.

Предложение перестроить таким образом можно.

В первой части предложения сравнительный оборот образует смысловой центр (смысл не в том, что полицмейстер заходит в лавки, а в том, как именно он это делает), а значит, тесно связан со сказуемым, что дает основание не обособлять его. Сравним примеры из Национального корпуса русского языка: Художники и гуманисты приходили к Козимо как к себе домой и чувствовали себя с ним совсем просто. [А. К. Дживелегов. Вазари и Италия (1933)] (здесь случай, подобный Вашему); А то я туда сунулся, как к себе домой, а там мужик какой-то незнакомый [А. Маринина. Не мешайте палачу (1996)] (смысловой центр первой части, важный для развития сюжета, образует сказуемое сунулся, оборот как к себе домой добавляет малосущественную характеристику).

За что — это союзное слово (с предлогом). В данном случае оно служит средством связи частей сложноподчиненного предложения особого типа. Вот что говорится о них в справочнике Е. И. Литневской: «В русском языке представлен еще один тип придаточных предложений, не нашедший отражения ни в одном из учебных комплексов. Это придаточные присоединительные. Их особенность заключается в том, что они не эквивалентны ни одному из членов предложения, к ним не может быть поставлен вопрос от главной части, что является причиной их выделения в отдельную группу».

Местоимение что, в том числе с предлогом за, в разных контекстах может быть вопросительным (За что его наказали?) или относительным, то есть союзным словом (Я не понял, за что его наказали — придаточное изъяснительное).