Правильно склонять (как в первом варианте). Подробнее см. в «Письмовнике».

Формулу этикета лучше выделить в самостоятельное предложение: Доброе утро! Нас встречает [Имя Фамилия].

При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Желокович.

Нужно склонять обе части фамилии: Поклевского-Козелла, Поклевскому-Козеллу и т. д.

Фамилия Марага (и мужская, и женская) склоняется: поздравляем Нину Марагу.

Полагаем, что первую часть такой фамилии следует склонять, если она принадлежит мужчине: у Василия Швеца-Рогового.

В ответах не было ошибки, но рекомендация писать это слово слитно устарела. Дело в том, что в 1-м и 2-м изданиях «Русского орфографического словаря» РАН рекомендовалось слитное написание моточас. В 4-м издании (М., 2012) написание было изменено на дефисное. Таким образом, современная письменная норма: мото-час.

Мы исправили ответы на вопросы № 221487 и 232948, чтобы в них не содержались устаревшие сведения.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Фамилия Недвига склоняется. Она заканчивается на букву а с предшествующей согласной. Такие фамилии склоняются. Исключение составляют некоторые иностранные фамилии с ударной а, например французские. Подробнее см. в «Письмовнике», раздел 13.1.11.

Фамилия Якуша склоняется, правильно: у Натальи Якуши. При слове семья корректно употреблять эту фамилию в форме единственного числа: семья Якуша.