Рекомендация писать со строчной основана на следующем правиле: в форме множественного числа названия органов власти, учреждений и т. п. пишутся со строчной буквы (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007). На наш взгляд, рекомендация, приведенная в справочнике Д. Э. Розенталя, не вполне оправданна: прописная буква – маркер имени собственного, т. е. индивидуального названия предмета. Употребление в форме множественного числа превращает собственное наименование в нарицательное, поэтому прописная буква заменяется строчной.

Да, слова наконец и наконец-то в данном случае обособлять не нужно.

Правильно: недоказанность, неявившиеся свидетели, но: не явившиеся в суд свидетели, по неустановленным причинам, причиной нерассмотрения, неявка, неявившихся, из-за необеспечения, незаинтересованность, в связи с недоставлением, нецелевое, о незаинтересованности. Правила читайте в разделе «Правила».

Нет, такие сочетания не соответствуют нормам современного русского литературного языка, хотя многие лингвисты отмечают экспансию предлога на в разговорной речи. 

"...предлог на, как, например, приставка про- (всякие там пролечить, проплатить), в последнее время замелькал довольно активно: на тюрьме (как на зоне), на вагоне (Кипяток попросите на соседнем вагоне — недавно в поезде услышала), на районе (даже в какой-то рекламе было: У нас на районе никто не зажигает). А мое любимое выражение с предлогом на — на позитиве: Я пришел такой весь на позитиве. Раньше говорили на нервах, на голубом глазу, а теперь еще и на лавэ (то есть, при деньгах). <...> Вот в каком-то блоге обсуждают фотографию приятеля: смотри, мол, какой нарядный, на костюме (далее непечатно). Или вот по поводу дресс-кода: обязательно ли в этой фирме ходить на костюме, на галстуке? Попутно выяснила, что выражение на галстуке есть еще в жаргоне автомобилистов: в смысле машина заглохла, пришлось ехать на галстуке" (И. Левонтина. Русский со словарем. М., 2016). 

Открыто объявить о чём-либо, сознаться в чём-либо — такова смысловая основа многозначного глагола признаться. Несомненно, что открыто говорят и о плохом, и о хорошем.

Склонение мужской фамилии Рудь обязательно. Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются в русском языке. Правильно: для Леонида Рудя, Леониду Рудю.

Нет оснований ставить сразу два знака — запятую и тире — в указанной позиции. Нужно поставить либо запятую (по общему правилу постановки знаков в сложноподчиненном предложении), либо тире (так как придаточная условная часть предшествует главной).

В современной речи слово заведение сравнительно часто используется для обозначения предприятий / организаций общественного питания или, иными словами, ресторанов, кафе, баров и даже заведений питания (как обойтись без заведений питания ресторанного типа?). При обсуждении медицинских организаций говорят о лечебных учреждениях или, если возможно употребление наименований разновидностей медицинских организаций, о клиниках, больницах, кабинетах, лабораториях, центрах и т. д. Как всегда, уместность слов и описательных оборотов определяется с учетом стилистических особенностей конкретных текстов.

Слово «также», которое может быть наречием или союзом, считается одним из самых употребительных средств связи предложений в современных русских текстах и часто встречается в начале предложения как в письменных, так и в устных жанрах. Употребление «также» в начале предложения связывают с влиянием иностранных языков и калькированием английского also, отделяемого запятой. «Также» выполняет анафорическую функцию в значениях близким к частицам еще и кроме того. Н. А. Дьячкова в статье «Также никогда не начинай предложение с также» приводит следующие аргументы: «Начинать предложение с союза "также" можно. И, хотя такой порядок слов не всегда бывает удачным со стилистической точки зрения, всё же это не ошибка. С наречия «также» начинать предложение нельзя, потому что при таком порядке слов нарушаются логические связи между соседними предложениями». Однако наречие также можно сочетать с союзами а, и, но с присоединительным значением: И также ― определенный сдержанный минимальный лиризм… некая форма минимализма… (И.А. Бродский, Е. Петрушанская).

Допустимым является употребление в начале предложения союза также, выражающего значение «добавление к сказанному»: Я наслаждался мирно своим трудом, успехом, славой; также трудами и успехами друзей (А.С. Пушкин). В таком случае возможна иная пунктуация: Я наслаждался мирно своим трудом, успехом, славой. Также трудами и успехами друзей. Но данный пример представляется «слишком искусственным» и неудачным. В устной же речи начальное также — заполнитель паузы, которая по некоторой причине может быть необходима говорящему во время порождения монолога. Помимо этого, также может быть уместно, если следующая за ним часть распространяет предшествующую в рамках тех же смысловых отношений, а само это слово выступает в качестве присоединительного союза: Он был высокий, пропорционально сложённый мужчина, с крупными, правильными чертами смугло-матового лица, с ровной, красивой походкой, с сдержанными, но приятными манерами <…> Также с изысканными жестами и приятным голосом. В каждом случае важно учитывать контекст: союз также корректен, если он близок по значению к «кроме этого», а предложение является примечанием или пояснением к уже сказанному: Также раздел услуг пополнился новыми предложениями наших партнёров.

Многие имена существительные мужского рода с непроизводной основой на твердый согласный (кроме шипящих) имеют в родительном падеже множественного числа так называемое нулевое окончание. Сюда относятся:

1)      названия предметов, употребляющихся обычно парами: ботинок, валенок, мокасин, сапог (но: сапогов-скороходов), чулок (но: носков); (без) погон, эполет;

2)      названия некоторых национальностей, главным образом с основой на н и р: англичан, армян, балкар, башкир, болгар, бурят, грузин, лезгин, мордвин, осетин, румын, сарацин, туркмен, турок, хазар, цыган; последний из могикан; но: бедуинов, берберов, бушменов, негров, сванов, калмыков, киргизов, мегрелов, монголов, ойротов, таджиков, тунгусов, узбеков, хакасов, хорватов, якутов; колебания: сарматов – сармат и некоторые другие;

3)      названия воинских групп, прежних родов войск и т. п.; (отряд) партизан, солдат; но: минеров, мичманов, саперов; при собирательном значении – рота гренадер, гардемарин, кадет; эскадрон гусар, драгун, улан; полк кирасир, рейтар; – (трех) гренадеров, гусаров, гардемаринов, драгунов, кадетов, кирасиров, рейтаров, уланов;

4)      некоторые названия единиц измерения, обычно употребляющиеся с именами числительными (так называемая счетная форма): (количество) ампер, ватт, вольт, ньютон, аршин, ангстрем, герц, гран, эрстед; равноправные варианты: микронов – микрон; омов – ом; рентгенов – рентген; граммов – грамм; килограммов – килограмм; каратов – карат; кулонов – кулон; эргов – эрг; полные формы: кабельтовых (от кабельтов).

Окончание -ов сохраняется в формах: абрикосов, апельсинов, бананов, мандаринов, помидоров, томатов, баклажанов. В устной речи обычно используются усеченные формы (без окончания -ов): килограмм помидор, полкило мандарин.

Наблюдаемые колебания в формах георгин – георгинов, жираф – жирафов, рельс – рельсов вызваны наличием в единственном числе параллельных форм: георгин, жираф, рельс и (у ботаников) георгина, (устарелые) жирафа, рельса.

Разные формы имеются у слов-омонимов. Так, рожо́к (пастуший, детский и т. п.) образует во множественном числе формы рожки́ – рожко́в; рожо́к (уменьшит, к рог) имеет формы ро́жки – ро́жек; от глазо́к (почка у растений; отверстие для надзора) – глазки́ – глазко́в; от глазо́к (уменьшит, к глаз) – гла́зки – гла́зок.