Словосочетание глубоко ошибаться следует признать корректным: оно зафиксировано в «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина.
Разумеется, сочетание глубоко заблуждаться также соответствует литературной норме.
Обычно употребляется форма мн. числа: глубокие соболезнования.
Правильно: Благодаря системе глубокой очистки... Постановка запятой факультативна.
Следует писать раздельно.
Корректно: глубоко насыщенный, прозрачно-невесомый.
Корректно раздельное написание: глубоко недоношенный ребенок. Однако в специальной (медицинской) литературе, где это слово используется в качестве термина, распространено слитное (глубоконедоношенный ребенок) написание.
Слово восьмитысячник образовано от количественного числительного с помощью суффикса -ник.